Considere A=[ai j] a matriz simétrica de ordem 3 , definida por
ai j=rcc 2 i^2-j & se & i
© Mostre, através de operações elementares sobre linhas (exiba todas as operações elementares realizadas), que a matriz A é inversível e encontre sua inversa A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz simétrica aij = 2i^2 - j & se i < j 1 & se i = j de ordem 3, definida por:
Nosso objetivo aqui é mostrar que essa matriz é inversível usando operações elementares nas linhas e, depois, encontrar a inversa .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz a11 &= 1 a12 &= 2(1)^2 - 2 = 2 - 2 = 0 a13 &= 2(1)^2 - 3 = 2 - 3 = -1 a21 &= a12 = 0 a22 &= 1 a23 &= 2(2)^2 - 3 = 8 - 3 = 5 a31 &= a13 = -1 a32 &= a23 = 5 a33 &= 1 . Como A = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 5 -1 & 5 & 1 é simétrica, . Vamos calcular cada elemento:
  • Para , .
  • Para , .
  • Para , .
Vamos calcular cada elemento:
Então, a matriz fica assim:

Passo 3

Agora, para mostrar que 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & | & 0 & 1 & 0 -1 & 5 & 1 & | & 0 & 0 & 1 é inversível, precisamos verificar se o determinante de é diferente de zero. Mas, seguindo o que foi pedido, vamos usar operações elementares nas linhas para transformar na matriz identidade, ao mesmo tempo aplicando essas operações na matriz identidade para obter .
Vamos montar a matriz aumentada :

Passo 4

Primeira Operação: Eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (1 na posição R3 = R3 + R1 ).
Pegamos a terceira linha e somamos a primeira linha a ela:
1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & | & 0 & 1 & 0 0 & 5 & 0 & | & 1 & 0 & 1

Passo 5

Segunda Operação: Eliminar o elemento acima do segundo pivô (1 na posição 0 5 0 | 1 0 1 ).
Aqui, já temos o segundo pivô em R3 = 15 R3 , vamos usar ele para eliminar o elemento acima, mas olhando a matriz atual, já não há elementos acima do segundo pivô que precisem ser eliminados. Então, precisamos focar na terceira linha.
Terceira Operação: Tornar o terceiro pivô igual a 1 e eliminar os elementos acima dele.
Primeiro, vamos fazer o terceiro pivô ser 1. Atualmente, na terceira linha, temos:
1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & | & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & | & 15 & 0 & 15
Vamos dividir a terceira linha por 5:
R2 = R2 - 5 times R3
1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 5 & | & -1 & 1 & -1 0 & 1 & 0 & | & 15 & 0 & 15
Agora, vamos eliminar o elemento usando a terceira linha.

Passo 6

Quarta Operação: Eliminar o elemento abaixo do segundo pivô.
Já temos o segundo pivô na terceira linha, então vamos reorganizar as linhas para facilitar.
Vamos trocar a segunda e a terceira linha:
R2 rightarrow R3
1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & | & 15 & 0 & 15 0 & 0 & 5 & | & -1 & 1 & -1
Agora, vamos tornar o terceiro pivô igual a 1 dividindo a terceira linha por 5:
R3 = 15 R3
1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & | & 15 & 0 & 15 0 & 0 & 1 & | & -15 & 15 & -15

Passo 7

Quinta Operação: Eliminar os elementos acima do terceiro pivô.
Vamos usar a terceira linha para eliminar o elemento R1 = R1 + R3 :
1 & 0 & 0 & | & 45 & 15 & -15 0 & 1 & 0 & | & 15 & 0 & 15 0 & 0 & 1 & | & -15 & 15 & -15

Passo 8

Pronto! Agora a matriz da esquerda é a identidade A^-1 = 45 & 15 & -15 15 & 0 & 15 -15 & 15 & -15 , e a matriz da direita é a inversa . Então, temos:

Resposta

A matriz A^-1 = 45 & 15 & -15 15 & 0 & 15 -15 & 15 & -15 é inversível, e sua inversa é:

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