Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz simétrica de ordem 3, definida por:
Nosso objetivo aqui é mostrar que essa matriz é inversível usando operações elementares nas linhas e, depois, encontrar a inversa .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz . Como é simétrica, . Vamos calcular cada elemento:
Para , .
Para , .
Para , .
Vamos calcular cada elemento:
Então, a matriz fica assim:
Passo 3
Agora, para mostrar que 1 & 0 & -1 & | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & | & 0 & 1 & 0 -1 & 5 & 1 & | & 0 & 0 & 1 é inversível, precisamos verificar se o determinante de é diferente de zero. Mas, seguindo o que foi pedido, vamos usar operações elementares nas linhas para transformar na matriz identidade, ao mesmo tempo aplicando essas operações na matriz identidade para obter .
Vamos montar a matriz aumentada :
Passo 4
Primeira Operação: Eliminar o elemento abaixo do primeiro pivô (1 na posição R3 = R3 + R1 ).
Pegamos a terceira linha e somamos a primeira linha a ela:
Segunda Operação: Eliminar o elemento acima do segundo pivô (1 na posição 0 5 0 | 1 0 1 ).
Aqui, já temos o segundo pivô em R3 = 15 R3 , vamos usar ele para eliminar o elemento acima, mas olhando a matriz atual, já não há elementos acima do segundo pivô que precisem ser eliminados. Então, precisamos focar na terceira linha.
Terceira Operação: Tornar o terceiro pivô igual a 1 e eliminar os elementos acima dele.
Primeiro, vamos fazer o terceiro pivô ser 1. Atualmente, na terceira linha, temos: