Classifique, em função do parâmetro , a cônica (possivelmente degenerada) de equacão
Quando ela não for degenerada, determine seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal e não focal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a cônica da equação dependendo do valor de . Depois, quando a cônica não for degenerada, vamos encontrar características importantes como focos, vértices, centro, excentricidade e identificar as retas focal e não focal. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e geometria analítica, especialmente sobre equações de cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais fácil de identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para a variável .

Passo 3

Para completar o quadrado em relação a , pegamos os termos que envolvem :
O próximo passo é adicionar e subtrair para completar o quadrado:
Substituindo isso de volta na equação original:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos para ter a forma padrão de uma cônica. Movemos para o outro lado:
Simplificando o lado direito:
Percebemos que , então a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos dividir todos os termos por para colocar a equação na forma padrão da cônica:
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Agora, observamos a forma padrão da equação da elipse:
Comparando com a nossa equação, vemos que é uma elipse, desde que os denominadores sejam positivos, ou seja, .

Passo 7

Portanto, para , a cônica é uma elipse. Para , a equação se torna , que é uma dupla de retas. Para , o denominador da segunda fração fica negativo, o que não é válido para uma elipse real, portanto a cônica é degenerada ou inexistente.

Passo 8

Agora, vamos determinar os elementos da elipse quando :
  • Centro:
  • Eixo maior: (paralelo ao eixo y)
  • Eixo menor: (paralelo ao eixo x)
  • Excentricidade :

Passo 9

Simplificando a excentricidade:

Passo 10

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Assim:
é
Os focos estão a uma distância do centro:
Então, os focos são:

Passo 11

A reta focal é o eixo maior, que é paralelo ao eixo y:
A reta não focal é perpendicular ao eixo maior, ou seja, paralela ao eixo x:
ã

Resposta

A cônica dada é uma elipse para todo , e degenerada ou inexistente para . Quando , os elementos da elipse são:
  • Centro:
  • Vértices:
  • Focos:
  • Excentricidade:
  • Reta focal:
  • Reta não focal:

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