Classifique, em função do parâmetro
, a cônica (possivelmente degenerada) de equacão
Quando ela não for degenerada, determine seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal e não focal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a cônica da equação
dependendo do valor de
. Depois, quando a cônica não for degenerada, vamos encontrar características importantes como focos, vértices, centro, excentricidade e identificar as retas focal e não focal. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e geometria analítica, especialmente sobre equações de cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais fácil de identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para a variável
.
Passo 3
Para completar o quadrado em relação a
, pegamos os termos que envolvem
:
O próximo passo é adicionar e subtrair
para completar o quadrado:
Substituindo isso de volta na equação original:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos para ter a forma padrão de uma cônica. Movemos
para o outro lado:
Simplificando o lado direito:
Percebemos que
, então a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos dividir todos os termos por
para colocar a equação na forma padrão da cônica:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Agora, observamos a forma padrão da equação da elipse:
Comparando com a nossa equação, vemos que é uma elipse, desde que os denominadores sejam positivos, ou seja,
.
Passo 7
Portanto, para
, a cônica é uma elipse. Para
, a equação se torna
, que é uma dupla de retas. Para
, o denominador da segunda fração fica negativo, o que não é válido para uma elipse real, portanto a cônica é degenerada ou inexistente.
Passo 8
Agora, vamos determinar os elementos da elipse quando
:
- Centro:
- Eixo maior:
(paralelo ao eixo y) - Eixo menor:
(paralelo ao eixo x) - Excentricidade
:
Passo 9
Simplificando a excentricidade:
Passo 10
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior. Assim:
Os focos estão a uma distância
do centro:
Então, os focos são:
Passo 11
A reta focal é o eixo maior, que é paralelo ao eixo y:
A reta não focal é perpendicular ao eixo maior, ou seja, paralela ao eixo x:
Resposta
A cônica dada é uma elipse para todo
, e degenerada ou inexistente para
. Quando
, os elementos da elipse são:
- Centro:
- Vértices:
- Focos:
- Excentricidade:
- Reta focal:
- Reta não focal: