Classifique, em função do parâmetro k, a cônica (possivelmente degenerada) de equacão
x^2+2 k x+2 k y^2=2 k+1
Quando ela não for degenerada, determine seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal e não focal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a cônica da equação dependendo do valor de . Depois, quando a cônica não for degenerada, vamos encontrar características importantes como focos, vértices, centro, excentricidade e identificar as retas focal e não focal. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e geometria analítica, especialmente sobre equações de cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais fácil de identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é:
x^2 + 2k x + 2k y^2 = 2k + 1
Vamos completar o quadrado para a variável .

Passo 3

Para completar o quadrado em relação a x^2 + 2k x , pegamos os termos que envolvem x^2 + 2k x + k^2 - k^2 = (x + k)^2 - k^2 :
(x + k)^2 - k^2 + 2k y^2 = 2k + 1
O próximo passo é adicionar e subtrair para completar o quadrado:
Substituindo isso de volta na equação original:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos para ter a forma padrão de uma cônica. Movemos (x + k)^2 + 2k y^2 = 2k + 1 + k^2 para o outro lado:
(x + k)^2 + 2k y^2 = k^2 + 2k + 1
Simplificando o lado direito:
(x + k)^2 + 2k y^2 = (k + 1)^2
Percebemos que , então a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos dividir todos os termos por (x + k)^2(k + 1)^2 + 2k y^2(k + 1)^2 = 1 para colocar a equação na forma padrão da cônica:
(x + k)^2(k + 1)^2 + y^2(k + 1)^22k = 1
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Agora, observamos a forma padrão da equação da elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação, vemos que é uma elipse, desde que os denominadores sejam positivos, ou seja, .

Passo 7

Portanto, para , a cônica é uma elipse. Para , a equação se torna , que é uma dupla de retas. Para , o denominador da segunda fração fica negativo, o que não é válido para uma elipse real, portanto a cônica é degenerada ou inexistente.

Passo 8

Agora, vamos determinar os elementos da elipse quando :
  • Centro:
  • Eixo maior: (paralelo ao eixo y)
  • Eixo menor: (paralelo ao eixo x)
  • Excentricidade :

Passo 9

Simplificando a excentricidade:
e = raiz1 - 2k(k + 1)^2 = raiz(k + 1)^2 - 2k(k + 1)^2 = raizk^2 + 2k +1 - 2k(k + 1)^2 = raizk^2 +1(k + 1)^2 = raizk^2 +1k +1

Passo 10

Os vértices da elipse estão localizados a uma distância Vértices: (-k, pm k +1raiz2k) do centro ao longo do eixo maior. Assim:
c = raizk^2 +1k +1 cdot k +1raiz2k = raizk^2 +1raiz2k é
Os focos estão a uma distância Focos: (-k, pm raizk^2 +1raiz2k) do centro:
Então, os focos são:

Passo 11

A reta focal é o eixo maior, que é paralelo ao eixo y:
Reta focal: x = -k
A reta não focal é perpendicular ao eixo maior, ou seja, paralela ao eixo x:
Reta não focal: y = 0 ã

Resposta

A cônica dada é uma elipse para todo , e degenerada ou inexistente para . Quando , os elementos da elipse são:
  • Centro:
  • Vértices:
  • Focos:
  • Excentricidade:
  • Reta focal:
  • Reta não focal:

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