Classifique, em função do parâmetro , a cônica (possivelmente degenerada) de equacão
Quando ela não for degenerada, determine seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal e não focal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar a cônica da equação dependendo do valor de . Depois, quando a cônica não for degenerada, vamos encontrar características importantes como focos, vértices, centro, excentricidade e identificar as retas focal e não focal. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra e geometria analítica, especialmente sobre equações de cônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais fácil de identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação dada é:
Vamos completar o quadrado para a variável .
Passo 3
Para completar o quadrado em relação a , pegamos os termos que envolvem :
O próximo passo é adicionar e subtrair para completar o quadrado:
Substituindo isso de volta na equação original:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos para ter a forma padrão de uma cônica. Movemos para o outro lado:
Simplificando o lado direito:
Percebemos que , então a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos dividir todos os termos por para colocar a equação na forma padrão da cônica:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Agora, observamos a forma padrão da equação da elipse:
Comparando com a nossa equação, vemos que é uma elipse, desde que os denominadores sejam positivos, ou seja, .
Passo 7
Portanto, para , a cônica é uma elipse. Para , a equação se torna , que é uma dupla de retas. Para , o denominador da segunda fração fica negativo, o que não é válido para uma elipse real, portanto a cônica é degenerada ou inexistente.
Passo 8
Agora, vamos determinar os elementos da elipse quando :
Centro:
Eixo maior: (paralelo ao eixo y)
Eixo menor: (paralelo ao eixo x)
Excentricidade:
Passo 9
Simplificando a excentricidade:
Passo 10
Os vértices da elipse estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Assim:
Os focos estão a uma distância do centro:
Então, os focos são:
Passo 11
A reta focal é o eixo maior, que é paralelo ao eixo y:
A reta não focal é perpendicular ao eixo maior, ou seja, paralela ao eixo x:
Resposta
A cônica dada é uma elipse para todo , e degenerada ou inexistente para . Quando , os elementos da elipse são: