Seja e o conjunto . Determine uma base do que possua dois elementos de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um espaço vetorial e um conjunto de três vetores . A missão aqui é encontrar uma base para que inclua dois desses vetores de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de linearidade e independência linear, que são fundamentais na Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles é múltiplo do outro. Vamos olhar para os dois primeiros vetores de : e .
Se supormos que existe um número tal que , teríamos:
Mas, substituindo no segundo componente:
O que não é verdade. Portanto, e são linearmente independentes.
Passo 3
Agora que sabemos que os dois primeiros vetores são independentes, vamos escolher eles para fazer parte da nossa base. Assim, temos:
Precisamos de um terceiro vetor que, junto com esses dois, forme uma base para .
Passo 4
Para completar a base, escolhemos o terceiro vetor de , que é . Agora, verificamos se esses três vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculamos o determinante dessa matriz:
Como o determinante é zero, os três vetores são linearmente dependentes. Isso significa que é uma combinação linear de e . Portanto, precisamos escolher um terceiro vetor que não esteja nesse espaço.
Passo 5
Vamos escolher um vetor diferente, por exemplo, . Agora, verificamos a independência:
Calculando o determinante:
Ainda deu zero! Então, tentamos outro vetor, por exemplo, :
Calculando o determinante:
Agora, o determinante não é zero, então os vetores são linearmente independentes.