Seja e o conjunto . Determine uma base do que possua dois elementos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um espaço vetorial e um conjunto de três vetores . A missão aqui é encontrar uma base para que inclua dois desses vetores de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de linearidade e independência linear, que são fundamentais na Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se os vetores em são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles é múltiplo do outro. Vamos olhar para os dois primeiros vetores de : e .
Se supormos que existe um número tal que , teríamos:
Mas, substituindo no segundo componente:
O que não é verdade. Portanto, e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora que sabemos que os dois primeiros vetores são independentes, vamos escolher eles para fazer parte da nossa base. Assim, temos:
Precisamos de um terceiro vetor que, junto com esses dois, forme uma base para .

Passo 4

Para completar a base, escolhemos o terceiro vetor de , que é . Agora, verificamos se esses três vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
Calculamos o determinante dessa matriz:
Como o determinante é zero, os três vetores são linearmente dependentes. Isso significa que é uma combinação linear de e . Portanto, precisamos escolher um terceiro vetor que não esteja nesse espaço.

Passo 5

Vamos escolher um vetor diferente, por exemplo, . Agora, verificamos a independência:
Calculando o determinante:
Ainda deu zero! Então, tentamos outro vetor, por exemplo, :
Calculando o determinante:
Agora, o determinante não é zero, então os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para que inclui dois elementos de é:

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Verdadeiro ou Falso. Justifique formalmente suas respostas!!!
Se dois vetores são linearmente dependentes, sempre existe tal que .
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .
Classifique, em função do parâmetro , a cônica (possivelmente degenerada) de equacão
Quando ela não for degenerada, determine seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal e não focal.
Dadas e ,
calcule .