Seja V=R^3 e o conjunto B=(0,1,1),(1,1,0),(1,2,1) subset R^3. Determine uma base do R^3 que possua dois elementos de B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um espaço vetorial V = R^3 e um conjunto de três vetores B = (0,1,1), (1,1,0), (1,2,1). A missão aqui é encontrar uma base para R^3 que inclua dois desses vetores de B. Para resolver isso, vamos usar conceitos de linearidade e independência linear, que são fundamentais na Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se os vetores em B são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles é múltiplo do outro. Vamos olhar para os dois primeiros vetores de B: (0,1,1) e (1,1,0).
Se supormos que existe um número k tal que (0,1,1) = k cdot (1,1,0), teríamos:
0 = k cdot 1 implies k = 0
Mas, substituindo k = 0 no segundo componente:
1 = 0 cdot 1 = 0
O que não é verdade. Portanto, (0,1,1) e (1,1,0) são linearmente independentes.

Passo 3

Agora que sabemos que os dois primeiros vetores são independentes, vamos escolher eles para fazer parte da nossa base. Assim, temos:
B' = (0,1,1), (1,1,0)
Precisamos de um terceiro vetor que, junto com esses dois, forme uma base para R^3.

Passo 4

Para completar a base, escolhemos o terceiro vetor de B, que é (1,2,1). Agora, verificamos se esses três vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz com esses vetores como colunas:
0 & 1 & 1 1 & 1 & 2 1 & 0 & 1
Calculamos o determinante dessa matriz:
det = 0 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = 0 - 1 cdot (-1) + 1 cdot (-1) = 1 - 1 = 0
Como o determinante é zero, os três vetores são linearmente dependentes. Isso significa que (1,2,1) é uma combinação linear de (0,1,1) e (1,1,0). Portanto, precisamos escolher um terceiro vetor que não esteja nesse espaço.

Passo 5

Vamos escolher um vetor diferente, por exemplo, (1,0,0). Agora, verificamos a independência:
0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Calculando o determinante:
det = 0 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 0 - 1 cdot 0 + 1 cdot 0 = 0
Ainda deu zero! Então, tentamos outro vetor, por exemplo, (0,0,1):
0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1
Calculando o determinante:
det = 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = 0 - 1 cdot 1 + 0 = -1 neq 0
Agora, o determinante não é zero, então os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para R^3 que inclui dois elementos de B é:
, (0,1,1),; (1,1,0),; (0,0,1) ,

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