Verdadeiro ou Falso. Justifique formalmente suas respostas!!!
Se dois vetores são linearmente dependentes, sempre existe tal que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores e no espaço bidimensional . A questão diz que se esses vetores são linearmente dependentes, será que sempre existe um número real tal que ? Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser linearmente dependente e como isso se relaciona com a existência de um escalar .
Passo 2
Linearmente dependente significa que um dos vetores pode ser escrito como múltiplo escalar do outro. Em outras palavras, se e são linearmente dependentes, então existe algum número real tal que ou . Isso acontece porque, em um espaço bidimensional, dois vetores são linearmente dependentes se estão na mesma direção ou em direções opostas.
Passo 3
Vamos provar isso formalmente. Suponha que e sejam linearmente dependentes. Então, existe uma combinação linear não trivial que satisfaz:
onde nem nem são ambos zero. Isso implica que um vetor é múltiplo do outro. Por exemplo, se , podemos resolver para :
Aqui, é o escalar que relaciona os dois vetores.
Passo 4
Portanto, sempre que dois vetores em forem linearmente dependentes, podemos encontrar um escalar tal que um vetor é igual a vezes o outro. Isso confirma que a condição de dependência linear implica a existência desse escalar.
Resposta
Verdadeiro. Se dois vetores em são linearmente dependentes, então existe um número real tal que um vetor é múltiplo escalar do outro, ou seja, .