Verdadeiro ou Falso. Justifique formalmente suas respostas!!!
Se dois vetores u, v in R^2 são linearmente dependentes, sempre existe k in R tal que u=k v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores u e v no espaço bidimensional R^2. A questão diz que se esses vetores são linearmente dependentes, será que sempre existe um número real k tal que u = k v? Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser linearmente dependente e como isso se relaciona com a existência de um escalar k.

Passo 2

Linearmente dependente significa que um dos vetores pode ser escrito como múltiplo escalar do outro. Em outras palavras, se u e v são linearmente dependentes, então existe algum número real k tal que u = k v ou v = k u. Isso acontece porque, em um espaço bidimensional, dois vetores são linearmente dependentes se estão na mesma direção ou em direções opostas.

Passo 3

Vamos provar isso formalmente. Suponha que u e v sejam linearmente dependentes. Então, existe uma combinação linear não trivial que satisfaz:
au + bv = 0
onde nem a nem b são ambos zero. Isso implica que um vetor é múltiplo do outro. Por exemplo, se a neq 0, podemos resolver para u:
u = -ba v
Aqui, k = -ba é o escalar que relaciona os dois vetores.

Passo 4

Portanto, sempre que dois vetores em R^2 forem linearmente dependentes, podemos encontrar um escalar k tal que um vetor é igual a k vezes o outro. Isso confirma que a condição de dependência linear implica a existência desse escalar.

Resposta

Verdadeiro. Se dois vetores em R^2 são linearmente dependentes, então existe um número real k tal que um vetor é múltiplo escalar do outro, ou seja, u = k v.

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