Verdadeiro ou Falso. Justifique formalmente suas respostas!!!
Se dois vetores são linearmente dependentes, sempre existe tal que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores e no espaço bidimensional . A questão diz que se esses vetores são linearmente dependentes, será que sempre existe um número real tal que ? Para resolver isso, precisamos entender o que significa ser linearmente dependente e como isso se relaciona com a existência de um escalar .

Passo 2

Linearmente dependente significa que um dos vetores pode ser escrito como múltiplo escalar do outro. Em outras palavras, se e são linearmente dependentes, então existe algum número real tal que ou . Isso acontece porque, em um espaço bidimensional, dois vetores são linearmente dependentes se estão na mesma direção ou em direções opostas.

Passo 3

Vamos provar isso formalmente. Suponha que e sejam linearmente dependentes. Então, existe uma combinação linear não trivial que satisfaz:
onde nem nem são ambos zero. Isso implica que um vetor é múltiplo do outro. Por exemplo, se , podemos resolver para :
Aqui, é o escalar que relaciona os dois vetores.

Passo 4

Portanto, sempre que dois vetores em forem linearmente dependentes, podemos encontrar um escalar tal que um vetor é igual a vezes o outro. Isso confirma que a condição de dependência linear implica a existência desse escalar.

Resposta

Verdadeiro. Se dois vetores em são linearmente dependentes, então existe um número real tal que um vetor é múltiplo escalar do outro, ou seja, .

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Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .
Considere o conjunto . Determine a) , isto é, o subespaço gerado por ;
Seja e o conjunto . Determine uma base do que possua dois elementos de .
Classifique, em função do parâmetro , a cônica (possivelmente degenerada) de equacão
Quando ela não for degenerada, determine seus focos, vertices, centro, excentricidade, reta focal e não focal.