Verdadeiro ou Falso. Justifique formalmente suas respostas!!!
É possível que 3 vetores no sejam linearmente dependentes e dois a dois linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está perguntando. A questão fala sobre vetores em e quer saber se é possível ter três vetores que são linearmente dependentes, mas dois a dois são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de dependência e independência linear e como eles se aplicam a vetores no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum dos vetores pode ser obtido multiplicando o outro por um número escalar. Em outras palavras, eles não estão na mesma direção.
Passo 3
Agora, pensar que três vetores são linearmente dependentes significa que existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Ou seja, pelo menos um desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros dois.
Passo 4
Vamos analisar se é possível que dois a dois sejam independentes, mas os três juntos sejam dependentes. Se considerarmos três vetores em , e cada par é linearmente independente, isso significa que nenhum par está na mesma direção.
Passo 5
Porém, se os três vetores são linearmente dependentes, temos uma relação como , onde pelo menos um dos coeficientes é diferente de zero. Isso implica que pelo menos um vetor é combinação dos outros dois, o que contradiz a independência dos pares.
Passo 6
Portanto, não é possível ter três vetores em que sejam linearmente dependentes enquanto cada par de vetores é linearmente independente. Isso viola os conceitos de dependência e independência linear.
Resposta
Falso. Não é possível que três vetores em sejam linearmente dependentes enquanto cada par de vetores é linearmente independente.