Classifique as funções abaixo em:
I) Injetora
III) Bijetora
II) Sobrejetora
IV) Não é injetora e nem sobrejetora
I) Injetora
III) Bijetora
II) Sobrejetora
IV) Não é injetora e nem sobrejetora
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de
para
de acordo com:
O objetivo é classificar essa função como injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das anteriores. Para isso, precisamos entender o que significa cada termo e verificar se a função satisfaz essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que cada termo significa:
-
Injetora (I): Uma função é injetora se cada valor de saída é produzido por no máximo um valor de entrada. Ou seja,
implica que . -
Sobrejetora (II): Uma função é sobrejetora se para todo
no conjunto de chegada , existe pelo menos um em tal que . -
Bijetora (III): Uma função é bijetora se é tanto injetora quanto sobrejetora.
-
Nenhuma das anteriores (IV): Quando a função não é nem injetora nem sobrejetora.
Passo 3
Vamos verificar se a função é injetora.
Para mostrar que
é injetora, precisamos provar que se
, então necessariamente
.
Consideramos dois casos:
-
Ambos
e são maiores ou iguais a zero: Se, então . Como estamos considerando , isso implica que . -
Ambos
e são menores que zero: Se, então . -
Um
é maior ou igual a zero e o outro é menor que zero:
Vamos supor quee .
Para, precisaríamos que .
No entanto,enquanto , o que só é possível se ambos forem zero. Mas , então não há solução.
Portanto, a função
é injetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora.
Para que
seja sobrejetora, para todo
, deve existir um
tal que
.
Analisemos:
-
Para
:
Podemos escolher(já que ) e então . -
Para
:
Podemos escolher(já que ) e então .
Portanto, para todo
, existe um
correspondente, o que mostra que
é sobrejetora.
Passo 5
Como a função
é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é classificada como bijetora.
Resposta
III) Bijetora