Classifique as funções abaixo em:
I) Injetora
III) Bijetora
II) Sobrejetora
IV) Não é injetora e nem sobrejetora
f: R -> R, f(x) = { x^2 se x ≥ 0, x se x < 0 }

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de para de acordo com:
O objetivo é classificar essa função como injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das anteriores. Para isso, precisamos entender o que significa cada termo e verificar se a função satisfaz essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que cada termo significa:
  • Injetora (I): Uma função é injetora se cada valor de saída é produzido por no máximo um valor de entrada. Ou seja, implica que .
  • Sobrejetora (II): Uma função é sobrejetora se para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um em tal que .
  • Bijetora (III): Uma função é bijetora se é tanto injetora quanto sobrejetora.
  • Nenhuma das anteriores (IV): Quando a função não é nem injetora nem sobrejetora.

Passo 3

Vamos verificar se a função é injetora.
Para mostrar que é injetora, precisamos provar que se , então necessariamente .
Consideramos dois casos:
  1. Ambos e são maiores ou iguais a zero:
    Se , então . Como estamos considerando , isso implica que .
  2. Ambos e são menores que zero:
    Se , então .
  3. Um é maior ou igual a zero e o outro é menor que zero:
    Vamos supor que e .
    Para , precisaríamos que .
    No entanto, enquanto , o que só é possível se ambos forem zero. Mas , então não há solução.
Portanto, a função é injetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora.
Para que seja sobrejetora, para todo , deve existir um tal que .
Analisemos:
  • Para :
    Podemos escolher (já que ) e então .
  • Para :
    Podemos escolher (já que ) e então .
Portanto, para todo , existe um correspondente, o que mostra que é sobrejetora.

Passo 5

Como a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é classificada como bijetora.

Resposta

III) Bijetora

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