Encontre a antiderivada mais geral da função. Verifique sua resposta diferenciando.
f(x) = 1/x^3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a antiderivada mais geral da função . Vamos utilizar conceitos de antiderivação, especificamente a regra da potência para integrais, e depois verificar nossa resposta diferenciando a antiderivada encontrada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a aplicação da regra da potência. Sabemos que é o mesmo que . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a regra da potência para encontrar a antiderivada. A regra da potência para integração diz que:
No nosso caso, , que é diferente de -1, então podemos aplicar a regra diretamente.

Passo 4

Aplicando a regra da potência:
Portanto, a antiderivada mais geral de é , onde é a constante de integração.

Passo 5

Para verificar se nossa antiderivada está correta, vamos diferenciá-la e ver se obtemos a função original :
Como a derivada da antiderivada nos retorna a função original, nossa resposta está correta.

Resposta

A antiderivada mais geral de é:

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