Classifique as funções abaixo em:
I) Injetora
III) Bijetora
II) Sobrejetora
IV) Não é injetora e nem sobrejetora
I) Injetora
III) Bijetora
II) Sobrejetora
IV) Não é injetora e nem sobrejetora
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar a função
que vai de
para
. Queremos saber se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora ou se não se encaixa nessas categorias. Para isso, vamos lembrar rapidinho o que cada termo significa:
- Injetora: Cada valor de
tem um único . - Sobrejetora: A função cobre todo o conjunto de chegadas, ou seja, todo
tem pelo menos um tal que . - Bijetora: A função é tanto injetora quanto sobrejetora.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
é injetora. Para isso, a gente precisa checar se valores diferentes de
dão valores diferentes de
. Matemática falando, se
então
.
Vamos derivar a função para ver se ela é crescente ou decrescente no intervalo
:
No intervalo
,
porque
é sempre igual ou maior que zero. Isso mostra que a função é estritamente crescente. E quando uma função é estritamente crescente, ela é injetora porque nunca repete valores de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se todo número real
tem algum
tal que
.
Vamos calcular os valores de
nos extremos do intervalo:
- Quando
: - Quando
:
Então, a imagem de
é o intervalo
. Mas o codomínio é
, que inclui todos os números reais. Como
não atinge valores fora de
, ela não é sobrejetora.
Passo 4
Como vimos:
- A função é injetora porque é estritamente crescente.
- A função não é sobrejetora porque não cobre todo
.
Portanto, a função não é bijetora e também não se encaixa na última opção de não ser injetora nem sobrejetora.
Resposta
A função
definida em
é injetora.