Classifique as funções abaixo em:
I) Injetora
III) Bijetora
II) Sobrejetora
IV) Não é injetora e nem sobrejetora
f: [0,3] -> R, f(x) = x^2 - 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar a função que vai de para . Queremos saber se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora ou se não se encaixa nessas categorias. Para isso, vamos lembrar rapidinho o que cada termo significa:
  • Injetora: Cada valor de tem um único .
  • Sobrejetora: A função cobre todo o conjunto de chegadas, ou seja, todo tem pelo menos um tal que .
  • Bijetora: A função é tanto injetora quanto sobrejetora.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se é injetora. Para isso, a gente precisa checar se valores diferentes de dão valores diferentes de . Matemática falando, se então .
Vamos derivar a função para ver se ela é crescente ou decrescente no intervalo :
No intervalo , porque é sempre igual ou maior que zero. Isso mostra que a função é estritamente crescente. E quando uma função é estritamente crescente, ela é injetora porque nunca repete valores de .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se todo número real tem algum tal que .
Vamos calcular os valores de nos extremos do intervalo:
  • Quando :
  • Quando :
Então, a imagem de é o intervalo . Mas o codomínio é , que inclui todos os números reais. Como não atinge valores fora de , ela não é sobrejetora.

Passo 4

Como vimos:
  • A função é injetora porque é estritamente crescente.
  • A função não é sobrejetora porque não cobre todo .
Portanto, a função não é bijetora e também não se encaixa na última opção de não ser injetora nem sobrejetora.

Resposta

A função definida em é injetora.

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