Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora: f: R -> R dada por f(x) = 2 x + 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para classificarmos a função dada por como injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das anteriores. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para cada valor de saída, existe apenas um valor de entrada correspondente. Em outras palavras, se então necessariamente .
Vamos testar isso com nossa função:
Se , então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Como chegamos que , a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo valor de saída no conjunto de chegada, existe pelo menos um valor de entrada no domínio tal que .
Vamos resolver para :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Isso mostra que para qualquer , existe um em que satisfaz . Portanto, a função é sobrejetora.

Passo 4

Já que a função é tanto injetora quanto sobrejetora, podemos concluir que ela é bijetora. Uma função bijetora é aquela que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, estabelecendo uma correspondência um-para-um entre os elementos dos conjuntos de partida e chegada.

Resposta

A função é bijetora.

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