Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora:
dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para classificarmos a função
dada por
como injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma das anteriores. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se, para cada valor de saída, existe apenas um valor de entrada correspondente. Em outras palavras, se
então necessariamente
.
Vamos testar isso com nossa função:
Se
, então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Como chegamos que
, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo valor de saída
no conjunto de chegada, existe pelo menos um valor de entrada
no domínio tal que
.
Vamos resolver para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Isso mostra que para qualquer
, existe um
em
que satisfaz
. Portanto, a função é sobrejetora.
Passo 4
Já que a função
é tanto injetora quanto sobrejetora, podemos concluir que ela é bijetora. Uma função bijetora é aquela que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, estabelecendo uma correspondência um-para-um entre os elementos dos conjuntos de partida e chegada.
Resposta
A função
é bijetora.
Exercícios relacionados
Dadas as funções
definidas por
e
, determine a função inversa de
.
A função
é dada por
. A função
é injetora? Justifique.
Obtenha a primitiva reconhecendo-a a partir das regras de derivação:
(1EE-2015.2-Adaptada) Calcule a derivada das seguintes funções:
a.
b.
a.
b.