A função f: A -> B é dada por f(x) = raiz(1 - x^2). A função f é injetora? Justifique.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . A pergunta é: essa função é injetora? Para responder, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e analisar se a função dada cumpre esse critério.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora (ou injetiva) se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se implica que , então a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . O domínio desta função, , é o conjunto de todos os valores de para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, ou seja:
Portanto, .

Passo 4

Vamos verificar se há dois valores diferentes de no domínio que resultam no mesmo valor de . Suponha que existam e em tais que . Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso implica que:
Ou seja, para cada positivo, existe um que mapeia para o mesmo valor de .

Passo 5

Por exemplo, considere e . Calculando :
Aqui, mas , o que mostra que a função não é injetora.

Resposta

Não, a função não é injetora, pois existem valores diferentes de que resultam no mesmo valor de .

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