A função
é dada por
. A função
é injetora? Justifique.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida por
. A pergunta é: essa função é injetora? Para responder, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e analisar se a função dada cumpre esse critério.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora (ou injetiva) se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Em outras palavras, se
implica que
, então a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. O domínio desta função,
, é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa, ou seja:
Portanto,
.
Passo 4
Vamos verificar se há dois valores diferentes de
no domínio que resultam no mesmo valor de
. Suponha que existam
e
em
tais que
. Então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Isso implica que:
Ou seja, para cada
positivo, existe um
que mapeia para o mesmo valor de
.
Passo 5
Por exemplo, considere
e
. Calculando
:
Aqui,
mas
, o que mostra que a função não é injetora.
Resposta
Não, a função
não é injetora, pois existem valores diferentes de
que resultam no mesmo valor de
.
Exercícios relacionados
Se
é da forma
e
, calcule os valores de
e
.
Sejam as funções reais
e
, dadas por
e
. Calcule
e
.
Dadas as funções
definidas por
e
, determine a função inversa de
.
Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora:
dada por
;