Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora: f : R* -> R* dada por f(x) = 1/x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a função definida por como injetora, sobrejetora, bijetora ou se não é nenhuma dessas. Para isso, vamos usar os conceitos de injeção e sobrejeção na teoria de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente .
Vamos assumir que :
Multiplicando ambos os lados por (que não é zero porque estamos trabalhando com ):
Então, sempre que , temos . Portanto, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um em tal que .
Dado , queremos achar tal que:
Resolvendo para :
Como é diferente de zero, também estará em . Então, para todo , existe um que satisfaz . Portanto, a função é sobrejetora.

Resposta

A função é bijetora, pois é tanto injetora quanto sobrejetora.

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