Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora:
dada por
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar a função
definida por
como injetora, sobrejetora, bijetora ou se não é nenhuma dessas. Para isso, vamos usar os conceitos de injeção e sobrejeção na teoria de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
.
Vamos assumir que
:
Multiplicando ambos os lados por
(que não é zero porque estamos trabalhando com
):
Então, sempre que
, temos
. Portanto, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Dado
, queremos achar
tal que:
Resolvendo para
:
Como
é diferente de zero,
também estará em
. Então, para todo
, existe um
que satisfaz
. Portanto, a função é sobrejetora.
Resposta
A função
é bijetora, pois é tanto injetora quanto sobrejetora.