Considere a função em R definida por f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1. Descreva a lei que definem as seguintes funções f(-x), f(1/x), f(x-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função definida por e precisa encontrar três novas funções baseadas nessa: , e . Para isso, vamos utilizar conceitos de transformação de funções, que envolvem substituir o na função original por alguma expressão nova.

Passo 2

Vamos começar encontrando . Essa transformação consiste em substituir por na função original. A ideia aqui é refletir a função em relação ao eixo .
Passos para encontrar :
  1. Pegue a função original: .
  2. Substitua cada por :
  3. Simplifique as potências:

Passo 3

Agora, vamos determinar . Essa transformação envolve substituir por , o que altera a função de maneira mais complexa, geralmente invertendo seu comportamento.
Passos para encontrar :
  1. Comece com a função original: .
  2. Substitua por :
  3. Simplifique as potências e frações:

Passo 4

Por último, vamos encontrar . Essa transformação desloca a função horizontalmente. Subtrair 1 dentro da função significa que a função inteira será deslocada 1 unidade para a direita.
Passos para encontrar :
  1. Pegue a função original: .
  2. Substitua por :
  3. Expanda os termos:
  4. Substitua de volta na expressão:
  5. Simplifique os termos:

Resposta

As leis que definem as funções solicitadas são:

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Dê o domínio: f(x) = raiz(x) / raiz(x + 1).
Classifique as funções abaixo como injetora, sobrejetora, bijetora ou não injetora nem sobrejetora: f : R* -> R* dada por f(x) = 1/x;
Sejam as funções reais g e f(g) definidas por g(x) = 2x - 3 e
(f o g)(x) = { 4x² - 6x - 1, se x ≥ 1; 4x + 3, se x < 1 }
Obtenha a lei que define f.
Determine a solução geral e singular da equação de Clairouts y = x * y' + (a * y') / raiz(1 + (y')^2). Resp.: Sol. Geral: y = c*x + (a*c)/(raiz(1 + c^2)); Sol. Singular: x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)