Dado que lim x 2 f(x)=4, lim x 2 g(x)=-2 e lim x 2 h(x)=0, encontre, se existir, cada um dos limites abaixo. Caso não exista, explique o porquê.
(e) lim x 2 g(x)h(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 2 g(x)h(x). Nesse exercício, estamos trabalhando com limites de funções, especificamente com a divisão de dois limites. Para resolver, vamos precisar entender como os limites do numerador g(x) e do denominador h(x) se comportam quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites das funções individuais:
  • lim x 2 g(x) = -2
  • lim x 2 h(x) = 0

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite da divisão dessas duas funções:
lim x 2 g(x)h(x) = lim x 2 g(x)lim x 2 h(x) = -20

Passo 4

Quando o denominador de uma fração se aproxima de zero e o numerador é um número diferente de zero, o resultado tende ao infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais. No nosso caso, o numerador é -2 (negativo) e o denominador está se aproximando de 0.

Passo 5

Como o numerador é negativo e o denominador está se aproximando de zero, a fração -20 sugere que o limite tende a menos infinito. Porém, sem informações adicionais sobre como exatamente h(x) se aproxima de zero (por exemplo, pelo lado positivo ou negativo), não podemos determinar um valor específico.

Resposta

O limite lim x 2 g(x)h(x) não existe, pois a fração tende a menos infinito devido ao denominador se aproximando de zero enquanto o numerador é negativo.

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