Classifique as funções em racional ( r ) ou não racional ( n ); racional própria § ou racional imprópria (i)
f(x) = ((e * x)^(2) + 1) / ((x^(2) + x + 3) * (x^(2) - 6 * x + 9))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para classificar a função dada como racional ou não racional e, se for racional, dizer se é própria ou imprópria. Para isso, vamos precisar entender o que são funções racionais e como identificá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função racional. Uma função racional é aquela que pode ser escrita como o quociente de dois polinômios, ou seja, tem a forma:
onde e são polinômios e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que temos:
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. O numerador é e o denominador é o produto de dois polinômios e .

Passo 4

Como a função está na forma de um quociente de polinômios, podemos concluir que ela é uma função racional.

Passo 5

Agora, vamos determinar se essa função racional é própria ou imprópria. Uma função racional é própria quando o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador. É imprópria quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador.

Passo 6

Vamos calcular os graus dos polinômios:
  • No numerador: é um polinômio de grau 2.
  • No denominador: é o produto de dois polinômios de grau 2, então o grau total é 4.

Passo 7

Comparando os graus:
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 4
Como 2 é menor que 4, a função é uma função racional própria.

Resposta

A função é racional ® e, por ser o grau do numerador menor que o do denominador, é racional própria §. Portanto, classificamos a função como racional própria (rp).

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