Classifique as funções em racional ( r ) ou não racional ( n ); racional própria § ou racional imprópria (i)
f(x) = (sen(7) x^4 + 1) / (x^3 + 2 x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função dada por e precisamos classificar essa função como racional ou não racional. Se for racional, vamos ver se ela é racional própria ou imprópria. Para isso, vamos lembrar que funções racionais são quocientes de dois polinômios. Precisamos analisar o numerador e o denominador dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polinômios no numerador e no denominador. No numerador, temos . Aqui, é apenas uma constante multiplicando , então o numerador é um polinômio de grau 4. No denominador, temos , que é um polinômio de grau 3.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma função é racional se ela pode ser escrita como , onde e são polinômios. Já que tanto o numerador quanto o denominador da nossa função são polinômios, isso confirma que é uma função racional.

Passo 4

Depois de saber que a função é racional, precisamos ver se ela é própria ou imprópria. Para isso, comparamos os graus dos polinômios do numerador e do denominador. Se o grau do numerador for menor que o do denominador, a função é racional própria. Se for igual ou maior, é racional imprópria.

Passo 5

No nosso caso, o grau do numerador é 4 e o do denominador é 3. Como 4 é maior que 3, a função não é racional própria, mas sim racional imprópria.

Resposta

A função é racional imprópria (r(i)).

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Classifique as funções em racional ( r ) ou não racional ( n ); racional própria § ou racional imprópria (i)
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