Classifique a integral (d) integral0^raiz22 1raiz1-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Esse tipo de integral está ligado ao Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções que se relacionam com funções trigonométricas, como o arco seno. Para resolver, vamos precisar saber qual é a antiderivada de .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a antiderivada de ddx arcsin(x) = 1raiz1-x^2 é . Isso porque a derivada de é justamente . Ou seja,

Passo 3

Agora que sabemos qual é a antiderivada, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral definida. Esse teorema nos diz que, para calcular , basta achar a antiderivada de e calcular .

Passo 4

Aplicando isso à nossa integral, temos:
integral0^raiz22 1raiz1-x^2 , dx = arcsin( raiz22 ) - arcsin(0)
Sabemos que arcsin( raiz22 ) - 0 = arcsin( raiz22 ) , então simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos saber o valor de sin( pi4 ) = raiz22 . Sabemos que:
arcsin( raiz22 ) = pi4
Então,

Resposta

A integral vale .

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