Escreve v = 3i + 2j - 6k como soma de dois vetores, um paralelo e outro perpendicular ao w = 2i - 4j + k

Passo 1

No enunciado, precisamos escrever o vetor como a soma de dois vetores: um que seja paralelo e outro perpendicular ao vetor . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de projeção de vetores e decomposição vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a componente de v que é paralela a w. Isso é feito através da projeção de v sobre w, que é dada pela fórmula:
Aqui, precisamos calcular o produto escalar e o módulo de w ao quadrado .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar :
Agora, calculamos :

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da projeção:
Fazendo a multiplicação escalar:
Esse é o vetor paralelo a w.

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor perpendicular a w, subtraímos a componente paralela de v:
Substituindo os valores:
Realizando a subtração:
Convertendo os coeficientes para um denominador comum e somando:

Resposta

Portanto, os dois vetores que satisfazem as condições são:
  • Vetor paralelo a w:
  • Vetor perpendicular a w:

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