Classifique a integral integral-infty^+infty arctan xx^2+1 d x.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma integral definida de sobre , indo de até . A gente vai usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias, para classificar se essa integral converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É quando a gente tem limites de integração infinitos ou quando a função tem alguma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, os limites vão até o infinito, então é uma integral imprópria.

Passo 3

Para resolver, a gente pode reescrever a integral como o limite quando limA to +infty integral-A^A arctan xx^2 + 1 dx tende ao infinito:
Isso facilita o cálculo e a análise da convergência.

Passo 4

Agora, vamos observar que a função arctan(-x)(-x)^2 + 1 = -arctan xx^2 + 1 é uma função ímpar. Isso significa que:
Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero, o resultado é zero.

Passo 5

Portanto, calculando a integral:
limA to +infty integral-A^A arctan xx^2 + 1 dx = 0
Isso mostra que a integral converge para zero.

Resposta

A integral converge e seu valor é igual a zero.

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