Classifique a integral integral0^4 xraiz16-x^2 d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão nos apresenta a integral definida e nos pede para classificá-la. Isso significa que precisamos identificar que tipo de integral estamos lidando, se é uma integral própria ou imprópria, e quais técnicas podemos usar para resolvê-la. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais definidas e improprias.

Passo 2

Vamos analisar a função que está sendo integrada: . Observamos que o denominador pode se tornar zero quando , já que . Isso significa que no limite superior da integral, a função tende ao infinito, o que caracteriza uma integral imprópria.

Passo 3

Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração inclui pontos onde a função não está definida ou tende ao infinito. Nesse caso, como quando se aproxima de 4, a função tende a infinito, precisamos tratar a integral como imprópria para avaliar sua convergência ou divergência.

Passo 4

Para classificar completamente a integral, vamos verificar se ela converge ou diverge. Isso envolve avaliar o limite da integral à medida que nos aproximamos do ponto problemático, que aqui é .

Passo 5

Vamos reescrever a integral de forma que possamos aplicar o limite:
integral0^4 xraiz16 - x^2 dx = limb to 4^- integral0^b xraiz16 - x^2 dx
Isso permite que a gente avalie o comportamento da integral conforme se aproxima de 4.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral . Vamos usar uma substituição para facilitar:
Seja , então ou .

Passo 7

Substituindo na integral:
integral xraiz16 - x^2 dx = -12 integral 1raizu du
A integral de é conhecida e fácil de resolver.

Passo 8

Integrando, temos:
-12 integral u^-1/2 du = -12 cdot 2 u^1/2 + C = -raizu + C
Voltando para a variável original:
-raiz16 - x^2 + C

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de integração, lembrando que estamos trabalhando com um limite:
limb to 4^- [ -raiz16 - b^2 + raiz16 - 0^2 ] = limb to 4^- [ -raiz16 - b^2 + 4 ]

Passo 10

À medida que limb to 4^- [ -0 + 4 ] = 4 se aproxima de 4, se aproxima de 0, e se aproxima de 0. Portanto:

Resposta

A integral é uma integral imprópria que converge e seu valor é 4.

Exercícios relacionados