Classifique a integral
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão nos apresenta a integral definida
e nos pede para classificá-la. Isso significa que precisamos identificar que tipo de integral estamos lidando, se é uma integral própria ou imprópria, e quais técnicas podemos usar para resolvê-la. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais definidas e improprias.
Passo 2
Vamos analisar a função que está sendo integrada:
. Observamos que o denominador
pode se tornar zero quando
, já que
. Isso significa que no limite superior da integral, a função tende ao infinito, o que caracteriza uma integral imprópria.
Passo 3
Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração inclui pontos onde a função não está definida ou tende ao infinito. Nesse caso, como quando
se aproxima de 4, a função
tende a infinito, precisamos tratar a integral como imprópria para avaliar sua convergência ou divergência.
Passo 4
Para classificar completamente a integral, vamos verificar se ela converge ou diverge. Isso envolve avaliar o limite da integral à medida que nos aproximamos do ponto problemático, que aqui é
.
Passo 5
Vamos reescrever a integral de forma que possamos aplicar o limite:
Isso permite que a gente avalie o comportamento da integral conforme
se aproxima de 4.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Vamos usar uma substituição para facilitar:
Seja
, então
ou
.
Passo 7
Substituindo na integral:
A integral de
é conhecida e fácil de resolver.
Passo 8
Integrando, temos:
Voltando para a variável original:
Passo 9
Agora, aplicamos os limites de integração, lembrando que estamos trabalhando com um limite:
Passo 10
À medida que
se aproxima de 4,
se aproxima de 0, e
se aproxima de 0. Portanto:
Resposta
A integral
é uma integral imprópria que converge e seu valor é 4.
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Determine o valor da integral
.
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Classifique a integral
.
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