Classifique a integral integral0^1 1raiz1-x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que avaliar a integral definida . Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas e técnicas de integração. Para resolver, a gente vai precisar usar uma substituição simples para facilitar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos definir:
u = 1 - x
Então, precisamos derivar essa expressão para encontrar du = -dx Rightarrow dx = -du :

Passo 3

Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição que fizemos. Quando u = 1 - 0 = 1 :
u = 1 - 1 = 0
E quando :
Então, os novos limites de integração serão de até .

Passo 4

Substituindo integral0^1 1raiz1-x dx = integral1^0 1raizu (-du) = integral0^1 1raizu du e na integral original:
Note que mudamos os limites e tiramos o sinal negativo para manter a ordem correta.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral u^-1/2 du = 2u^1/2 + C . Sabemos que:
Onde é a constante de integração, mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular nos limites.

Passo 6

Aplicando os limites de 0 a 1:
2u^1/2 |0^1 = 2(1)^1/2 - 2(0)^1/2 = 2(1) - 0 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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