Classifique a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral definida
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais improprias porque o limite inferior é
. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é usada quando a integral é do tipo
. A fórmula é:
Então, precisamos escolher
e
na nossa integral.
Passo 3
Na nossa integral
, vamos escolher:
-
(porque ao derivar, simplifica) -
(porque a integral de é direta)
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivando
: - Integrando
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral definida de
até
:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 7
Primeiro, avaliaremos no limite superior
:
Agora, no limite inferior
:
Sabemos que
tende a
quando
, e
também tende a
porque
decai mais rápido que
cresce negativamente. Então, o limite é
.
Resposta
Então, a integral vale
.
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Classifique a integral
.
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.
Encontre a Transformada de Laplace de
.