Classifique a integral integral-infty^0 x e^x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral definida . Isso está relacionado ao cálculo de integrais improprias porque o limite inferior é . Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é usada quando a integral é do tipo integral u , dv = uv - integral v , du . A fórmula é:
Então, precisamos escolher e na nossa integral.

Passo 3

Na nossa integral , vamos escolher:
  • (porque ao derivar, simplifica)
  • (porque a integral de é direta)

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x e^x dx = uv - integral v , du = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de integral-infty^0 x e^x dx = [ x e^x - e^x ]-infty^0 até :
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 7

Primeiro, avaliaremos no limite superior (0 cdot e^0) - e^0 = 0 - 1 = -1 :
limx to -infty (x e^x - e^x)
Agora, no limite inferior :
Sabemos que tende a quando , e também tende a porque decai mais rápido que cresce negativamente. Então, o limite é .

Resposta

Então, a integral vale .

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