Classifique a integral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral definida . Isso está relacionado ao cálculo de integrais improprias porque o limite inferior é . Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que vem da regra do produto da derivada e é usada quando a integral é do tipo . A fórmula é:
Então, precisamos escolher e na nossa integral.

Passo 3

Na nossa integral , vamos escolher:
  • (porque ao derivar, simplifica)
  • (porque a integral de é direta)

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de até :
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 7

Primeiro, avaliaremos no limite superior :
Agora, no limite inferior :
Sabemos que tende a quando , e também tende a porque decai mais rápido que cresce negativamente. Então, o limite é .

Resposta

Então, a integral vale .

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Classifique a integral .
e , em torno do eixo ;
Classifique a integral .
Encontre a Transformada de Laplace de .