Classifique a integral integral-infty^infty x e^-|x-4| d x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente precisa aqui. Temos que calcular a integral . Isso envolve cálculo, especificamente integrais que têm funções exponenciais e valor absoluto. Para resolver, vamos precisar separar a integral em partes para facilitar a conta.

Passo 2

A função dentro da integral é . O valor absoluto muda de acordo com o valor de . Então, vamos dividir a integral em duas partes: uma onde e outra onde . Isso vai ajudar a simplificar a expressão.

Passo 3

Quando integral-infty^4 x e^-(4 - x) dx + integral4^infty x e^-(x - 4) dx , temos , e quando , . Assim, a integral fica dividida em duas:

Passo 4

Simplificando os expoentes:
integral-infty^4 x e^x - 4 dx + integral4^infty x e^-x + 4 dx
Fatorando os termos constantes:
e^-4 integral-infty^4 x e^x dx + e^4 integral4^infty x e^-x dx

Passo 5

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Primeiro, vamos com a integral . Para isso, usamos integração por partes, onde escolhemos e .

Passo 6

Calculando integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C e , aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 7

Avaliando a primeira integral de e^-4 [e^x(x - 1)]-infty^4 = e^-4 [e^4(4 - 1) - limx to -infty e^x(x - 1)] até 4:
e^-4 cdot e^4 cdot 3 = 3
Como , temos:

Passo 8

Agora, resolvemos a segunda integral integral x e^-x dx = -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C = -e^-x(x + 1) + C . Usamos novamente integração por partes, com e .
Calculando e , aplicamos:

Passo 9

Avaliando a segunda integral de 4 até e^4 [-e^-x(x + 1)]4^infty = e^4 [0 - (-e^-4(4 + 1))] = e^4 cdot e^-4 cdot 5 = 5 :

Resposta

A integral é igual a 8.

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