Classifique a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que classificar a integral
. Isso tá relacionado com integrais impróprias e testes de convergência. Pra resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam quando
vai para infinito e aplicar algum teste de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral quando
cresce sem limite. A função
tende a zero conforme
aumenta. Já o
tende a
porque
vai para zero.
Passo 3
Então, para grandes valores de
, a função
se comporta aproximadamente como
. Isso simplifica nossa análise, pois sabemos que a integral
converge.
Passo 4
Como a função
é limitada por
e a integral de
converge, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos diz que se
para todo
grande o suficiente e
converge, então
também converge.
Passo 5
Aplicando o Teste da Comparação aqui:
E como
converge (ela vale 1), então nossa integral original também converge.
Resposta
A integral
converge.
Exercícios relacionados
Classifique a integral
.
Determine o valor da integral
.
Classifique a integral
.
Classifique a integral
.