Classifique a integral integral0^1 1x^3 d x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para classificar a integral . Isso envolve entender conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e se elas convergem ou divergem. Para resolver, vamos precisar saber como identificar integrais impróprias e calcular seus limites.

Passo 2

Primeiro, observamos a função que estamos integrando: . Note que quando se aproxima de 0, tende ao infinito. Isso significa que a integral pode não ser “boa” de ser calculada diretamente, já que o comportamento da função no limite inferior ( ) é problemático.

Passo 3

Como o limite inferior da integral ( ) faz com que a função se aproxime do infinito, a integral é chamada de imprópria. Especificamente, é uma integral imprópria por descontinuidade no limite de integração.

Passo 4

Para classificar a integral, precisamos verificar se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Calculamos a integral imprópria usando limites:
integral0^1 1x^3 , dx = lima to 0^+ integrala^1 x^-3 , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral de integral x^-3 , dx = x^-2-2 = -12x^2 :
lima to 0^+ [ -12(1)^2 - ( -12a^2 ) ] = lima to 0^+ ( -12 + 12a^2 )
Agora, aplicamos os limites de integração:

Passo 6

Analisando o limite:
-12 + 12a^2 infty quando a 0^+
Isso significa que a integral não tem um valor finito; ela diverge.

Resposta

A integral é uma integral imprópria que diverge.

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