Classifique a integral
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para classificar a integral
. Isso envolve entender conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e se elas convergem ou divergem. Para resolver, vamos precisar saber como identificar integrais impróprias e calcular seus limites.
Passo 2
Primeiro, observamos a função que estamos integrando:
. Note que quando
se aproxima de 0,
tende ao infinito. Isso significa que a integral pode não ser “boa” de ser calculada diretamente, já que o comportamento da função no limite inferior (
) é problemático.
Passo 3
Como o limite inferior da integral (
) faz com que a função
se aproxime do infinito, a integral é chamada de imprópria. Especificamente, é uma integral imprópria por descontinuidade no limite de integração.
Passo 4
Para classificar a integral, precisamos verificar se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Calculamos a integral imprópria usando limites:
Passo 5
Vamos calcular a integral de
:
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 6
Analisando o limite:
Isso significa que a integral não tem um valor finito; ela diverge.
Resposta
A integral
é uma integral imprópria que diverge.
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Encontre a Transformada de Laplace de
.
Mostre que, para
inteiro positivo,
.