Mostre que, para n inteiro positivo, Gamma(n+1) = n * Gamma(n).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para um número inteiro positivo , a função Gamma satisfaz a relação . A matéria aqui é Cálculo Avançado, especificamente sobre a função Gamma. Vamos precisar entender como essa função se comporta e suas propriedades básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função Gamma. A função Gamma, representada por , é uma generalização do fatorial para números complexos. Para números inteiros positivos, ela está relacionada diretamente ao fatorial, ou seja, .

Passo 3

Agora, queremos mostrar que . Sabendo que , podemos substituir na equação:

Passo 4

Vamos calcular usando a definição da função Gamma para inteiros positivos:
Isso porque, por definição, .

Passo 5

Agora, comparando as duas expressões:
Vimos que ambas as expressões resultam em , logo:

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer número inteiro positivo , .

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