Mostre que, para
inteiro positivo,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para um número inteiro positivo
, a função Gamma satisfaz a relação
. A matéria aqui é Cálculo Avançado, especificamente sobre a função Gamma. Vamos precisar entender como essa função se comporta e suas propriedades básicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função Gamma. A função Gamma, representada por
, é uma generalização do fatorial para números complexos. Para números inteiros positivos, ela está relacionada diretamente ao fatorial, ou seja,
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que
. Sabendo que
, podemos substituir na equação:
Passo 4
Vamos calcular
usando a definição da função Gamma para inteiros positivos:
Isso porque, por definição,
.
Passo 5
Agora, comparando as duas expressões:
Vimos que ambas as expressões resultam em
, logo:
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer número inteiro positivo
,
.