Classifique a integral integral0^2 x^2 ln (x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral definida . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é ótima quando temos produtos de funções, como aqui onde temos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Então, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx e qual vai ser dv = x^2 , dx Rightarrow v = x^33 . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
E então, o restante fica para :

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x^2 ln(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx

Passo 4

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x^33 cdot 1x , dx = 13 integral x^2 , dx
Integrando 13 cdot x^33 = x^39 :
integral x^2 ln(x) , dx = x^3 ln(x)3 - x^39 + C
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 0 a 2. Primeiro, no limite superior 2^3 ln(2)3 - 2^39 = 8 ln(2)3 - 89 :
limx to 0^+ ( x^3 ln(x)3 - x^39 )
No limite inferior , temos que verificar o limite:
Sabemos que tende a 0 quando tende a 0, pois a função vai para 0 mais rápido que vai para . E também tende a 0. Então, o limite no inferior é 0.

Resposta

Portanto, a integral 8 ln(2)3 - 89 é igual a:

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