Classifique a integral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral definida . Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é ótima quando temos produtos de funções, como aqui onde temos e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Então, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
E então, o restante fica para :

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar a segunda integral:
Integrando :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 0 a 2. Primeiro, no limite superior :
No limite inferior , temos que verificar o limite:
Sabemos que tende a 0 quando tende a 0, pois a função vai para 0 mais rápido que vai para . E também tende a 0. Então, o limite no inferior é 0.

Resposta

Portanto, a integral é igual a:

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Seja ;
Calcule
Determine o vetor gradiente da função em e a derivada direcional em na direção do vetor :
(ENADE) Considerando a função definida por , é correto afirmar que a função é integrável em todo intervalo ?
(ENADE) Considerando a função definida por , é correto afirmar que a função é derivável e sua derivada é a função ?