Classifique a integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a integral definida
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é ótima quando temos produtos de funções, como aqui onde temos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Então, precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
E então, o restante fica para
:
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar a segunda integral:
Integrando
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão no intervalo de 0 a 2. Primeiro, no limite superior
:
No limite inferior
, temos que verificar o limite:
Sabemos que
tende a 0 quando
tende a 0, pois a função
vai para 0 mais rápido que
vai para
. E
também tende a 0. Então, o limite no inferior é 0.
Resposta
Portanto, a integral
é igual a:
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Seja
;
Calcule
Calcule
Determine o vetor gradiente da função em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
:
(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função
é integrável em todo intervalo
?
(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função
é derivável e sua derivada é a função
?