(ENADE) Considerando a função definida por , é correto afirmar que a função é derivável e sua derivada é a função ?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre uma função definida por uma integral: . A pergunta é se essa função é derivável e se a sua derivada é exatamente a função . Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial e Integral para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante chamado Teorema Fundamental do Cálculo (FTC). Esse teorema conecta as operações de derivação e integração. De forma simples, ele nos diz que se você tem uma função que é a integral de outra função, então a derivada dessa integral te retorna a função original.

Passo 3

Aplicando o FTC à nossa função , a gente pode calcular a derivada de em relação a . Segundo o teorema, a derivada de será a própria função que está sendo integrada, ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos comparar a derivada que encontramos com o que foi perguntado no exercício. A derivada de é , mas o enunciado pergunta se a derivada de é igual a função . A menos que seja igual a , o que só aconteceria se fosse uma função constante (o que geralmente não é o caso), a afirmação do exercício está incorreta.

Resposta

Não, a função é derivável, mas sua derivada é , não .

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Classifique a integral .
Determine o valor da integral .
Determine o valor da integral .