(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função
é derivável e sua derivada é a função
?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre uma função
definida por uma integral:
. A pergunta é se essa função
é derivável e se a sua derivada é exatamente a função
. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial e Integral para descobrir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um conceito importante chamado Teorema Fundamental do Cálculo (FTC). Esse teorema conecta as operações de derivação e integração. De forma simples, ele nos diz que se você tem uma função que é a integral de outra função, então a derivada dessa integral te retorna a função original.
Passo 3
Aplicando o FTC à nossa função
, a gente pode calcular a derivada de
em relação a
. Segundo o teorema, a derivada de
será a própria função que está sendo integrada, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos comparar a derivada que encontramos com o que foi perguntado no exercício. A derivada de
é
, mas o enunciado pergunta se a derivada de
é igual a função
. A menos que
seja igual a
, o que só aconteceria se
fosse uma função constante (o que geralmente não é o caso), a afirmação do exercício está incorreta.
Resposta
Não, a função
é derivável, mas sua derivada é
, não
.
Exercícios relacionados
(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função
é integrável em todo intervalo
?
Classifique a integral
.
Determine o valor da integral
.
Determine o valor da integral
.