(ENADE) Considerando a função f: R R definida por f(x)=integral0^x d gd t(t) d t, é correto afirmar que a função f é integrável em todo intervalo [a, b], a, b in R, a?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . A pergunta é: essa função é integrável em todo intervalo , onde e são números reais e ? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e derivadas, além do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Vamos analisar a definição de f(x) = integral0^x dgdt(t) , dt = g(x) - g(0) . A função está definida como a integral da derivada de de 0 até . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se é uma função diferenciável em , então a integral da sua derivada de 0 até é igual à própria função menos o valor de em 0. Ou seja:
Isso significa que é uma função contínua, já que diferenciais de funções diferenciáveis são contínuos.

Passo 3

Sabemos que funções contínuas em um intervalo fechado são integráveis segundo o critério de Riemann. Como é contínua em todo (já que é a diferença de duas funções diferenciáveis), ela certamente é integrável em qualquer intervalo .

Resposta

Sim, a função é integrável em todo intervalo , onde .

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