(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função
é integrável em todo intervalo
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. A pergunta é: essa função
é integrável em todo intervalo
, onde
e
são números reais e
? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e derivadas, além do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Vamos analisar a definição de
. A função
está definida como a integral da derivada de
de 0 até
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se
é uma função diferenciável em
, então a integral da sua derivada de 0 até
é igual à própria função
menos o valor de
em 0. Ou seja:
Isso significa que
é uma função contínua, já que diferenciais de funções diferenciáveis são contínuos.
Passo 3
Sabemos que funções contínuas em um intervalo fechado
são integráveis segundo o critério de Riemann. Como
é contínua em todo
(já que é a diferença de duas funções diferenciáveis), ela certamente é integrável em qualquer intervalo
.
Resposta
Sim, a função
é integrável em todo intervalo
, onde
.
Exercícios relacionados
Classifique a integral
.
Seja
;
Calcule
Calcule
(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função
é derivável e sua derivada é a função
?
Determine o valor da integral
.