Determine o valor da integral integral0^1 x sin x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^1 x sin x , dx. Esse exercício está ligado ao conteúdo de cálculo, especificamente a integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher as partes certas da função para aplicar a técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa função será u e qual será dv.

Passo 3

Vamos escolher u = x porque sua derivada é simples, du = dx. Então, o que sobra é dv = sin x , dx. Agora, vamos integrar dv para encontrar v:
v = integral sin x , dx = -cos x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x sin x , dx = uv - integral v , du = -x cos x - integral (-cos x) , dx
Simplificando:
- x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x + C

Passo 5

Como queremos calcular a integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites:
[-x cos x + sin x]0^1 = [-1 cdot cos 1 + sin 1] - [-0 cdot cos 0 + sin 0]
Simplificando:
- cos 1 + sin 1 - 0 = sin 1 - cos 1

Resposta

O valor da integral é sin 1 - cos 1.

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