Determine o valor da integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está ligado ao conteúdo de cálculo, especificamente a integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher as partes certas da função para aplicar a técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é baseada na regra do produto para derivadas. A fórmula é:
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa função será
e qual será
.
Passo 3
Vamos escolher
porque sua derivada é simples,
. Então, o que sobra é
. Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Como queremos calcular a integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.