Classifique a integral .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a integral definida de a da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o de integrais próprias e impróprias, especialmente porque a função tem um termo que pode causar problemas quando se aproxima de . Vamos precisar entender como identificar se uma integral é própria ou imprópria e, se for imprópria, verificar se ela é convergente ou divergente.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar se a integral é própria ou imprópria. Uma integral própria é aquela em que a função é contínua no intervalo de integração e os limites de integração são finitos. Já uma integral imprópria ocorre quando a função tem algum tipo de descontinuidade no intervalo ou se os limites de integração são infinitos.
Nossa função é . Vamos analisar cada termo:
  • é contínuo em todo lugar.
  • também é contínuo para .
  • pode ser problemática quando , pois dividir por zero não é definido.
Então, temos uma descontinuidade em devido ao termo . Isso torna a integral imprópria.

Passo 3

Agora que identificamos que a integral é imprópria, precisamos verificar se ela converge ou diverge. Para isso, analisamos o comportamento da função perto do ponto problemático, que é .
O termo que causa a descontinuidade é . Sabemos que a integral de de a converge se . No nosso caso, , que é maior que . Portanto, a integral do termo converge.
Os outros termos, e , são contínuos e não causam problemas na integração. Assim, a integral inteira também converge.

Resposta

A integral é imprópria devido à descontinuidade em e converge.

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Determine o valor da integral .
(ENADE) Considerando a função definida por , é correto afirmar que a função diferença é uma função constante?
Classifique a integral .
Classifique a integral .