Classifique a integral
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a integral definida de
a
da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de integrais próprias e impróprias, especialmente porque a função tem um termo que pode causar problemas quando
se aproxima de
. Vamos precisar entender como identificar se uma integral é própria ou imprópria e, se for imprópria, verificar se ela é convergente ou divergente.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar se a integral é própria ou imprópria. Uma integral própria é aquela em que a função é contínua no intervalo de integração e os limites de integração são finitos. Já uma integral imprópria ocorre quando a função tem algum tipo de descontinuidade no intervalo ou se os limites de integração são infinitos.
Nossa função é
. Vamos analisar cada termo:
-
é contínuo em todo lugar. -
também é contínuo para . -
pode ser problemática quando , pois dividir por zero não é definido.
Então, temos uma descontinuidade em
devido ao termo
. Isso torna a integral imprópria.
Passo 3
Agora que identificamos que a integral é imprópria, precisamos verificar se ela converge ou diverge. Para isso, analisamos o comportamento da função perto do ponto problemático, que é
.
O termo que causa a descontinuidade é
. Sabemos que a integral de
de
a
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que
. Portanto, a integral do termo
converge.
Os outros termos,
e
, são contínuos e não causam problemas na integração. Assim, a integral inteira também converge.
Resposta
A integral
é imprópria devido à descontinuidade em
e converge.
Exercícios relacionados
Determine o valor da integral
.
(ENADE) Considerando a função
definida por
, é correto afirmar que a função diferença
é uma função constante?
Classifique a integral
.
Classifique a integral
.