Determine o valor da integral integral34^43 1x raiz1+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral definida de 34 até 43 da função 1x raiz1+x^2. Isso tá relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem quocientes e raízes. Vamos precisar saber como fazer a substituição adequada e integrar funções que aparecem no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos chamar de u = 1 + x^2. Assim, a derivada de u em relação a x é du/dx = 2x, ou seja, du = 2x dx. Isso nos ajuda a reescrever a integral em termos de u.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar du = 2x dx para isolar dx:
dx = du2x
Substituindo isso na integral original, temos:
integral 1x raizu cdot du2x = integral 12x^2 raizu du
Mas já sabemos que u = 1 + x^2, então x^2 = u - 1. Substituindo isso:
integral 12(u - 1) raizu du

Passo 4

Essa integral agora está em termos de u, mas ainda parece complicada. Vamos simplificar mais. Podemos reescrever como:
12 integral 1(u - 1) raizu du
Isso pode ser integrado usando uma substituição adicional ou reconhecendo uma forma padrão. Porém, percebi que houve um erro na substituição. Vamos voltar e tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição diferente. Observe que a integral pode ser reescrita como:
integral 1x raiz1+x^2 dx
Vamos usar a substituição t = raiz1 + x^2, então t^2 = 1 + x^2 e 2t dt = 2x dx, ou seja, dt = xt dx, então dx = tx dt.
Substituindo na integral:
integral 1x t cdot tx dt = integral 1x^2 dt
Mas x^2 = t^2 - 1, então:
integral 1t^2 - 1 dt

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 1t^2 - 1 dt = 12 ln | t-1t+1 | + C
Substituindo de volta t = raiz1 + x^2:
12 ln | raiz1 + x^2 - 1raiz1 + x^2 + 1 | + C

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 34 a 43:
[ 12 ln ( raiz1 + x^2 - 1raiz1 + x^2 + 1 ) ]34^43

Resposta

Calculando os valores e simplificando, o valor da integral é:
12 ln ( raiz1 + (43)^2 - 1raiz1 + (43)^2 + 1 ) - 12 ln ( raiz1 + (34)^2 - 1raiz1 + (34)^2 + 1 )
Simplificando num valor numérico aproximado, a integral vale aproximadamente 0,287.

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