Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral definida de até da função . Isso tá relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem quocientes e raízes. Vamos precisar saber como fazer a substituição adequada e integrar funções que aparecem no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos chamar de . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso nos ajuda a reescrever a integral em termos de .
Passo 3
Agora, vamos rearranjar para isolar :
Substituindo isso na integral original, temos:
Mas já sabemos que , então . Substituindo isso:
Passo 4
Essa integral agora está em termos de , mas ainda parece complicada. Vamos simplificar mais. Podemos reescrever como:
Isso pode ser integrado usando uma substituição adicional ou reconhecendo uma forma padrão. Porém, percebi que houve um erro na substituição. Vamos voltar e tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos tentar uma substituição diferente. Observe que a integral pode ser reescrita como:
Vamos usar a substituição , então e , ou seja, , então .
Substituindo na integral:
Mas , então:
Passo 6
Agora, a integral ficou mais simples:
Substituindo de volta t = raiz1 + x^2:
12 ln | raiz1 + x^2 - 1raiz1 + x^2 + 1 | + C
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 34 a 43:
[ 12 ln ( raiz1 + x^2 - 1raiz1 + x^2 + 1 ) ]34^43
Resposta
Calculando os valores e simplificando, o valor da integral é: