Determine o valor da integral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral definida de até da função . Isso tá relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando substituição para resolver integrais que envolvem quocientes e raízes. Vamos precisar saber como fazer a substituição adequada e integrar funções que aparecem no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Vamos chamar de . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso nos ajuda a reescrever a integral em termos de .

Passo 3

Agora, vamos rearranjar para isolar :
Substituindo isso na integral original, temos:
Mas já sabemos que , então . Substituindo isso:

Passo 4

Essa integral agora está em termos de , mas ainda parece complicada. Vamos simplificar mais. Podemos reescrever como:
Isso pode ser integrado usando uma substituição adicional ou reconhecendo uma forma padrão. Porém, percebi que houve um erro na substituição. Vamos voltar e tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos tentar uma substituição diferente. Observe que a integral pode ser reescrita como:
Vamos usar a substituição , então e , ou seja, , então .
Substituindo na integral:
Mas , então:

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
Substituindo de volta :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Resposta

Calculando os valores e simplificando, o valor da integral é:
Simplificando num valor numérico aproximado, a integral vale aproximadamente 0,287.

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