Resolva os seguintes problemas de valor inicial: t dt + y e^(-t) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem e . Assim, temos:
Isso facilita na hora de integrar ambos os lados.

Passo 3

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função que satisfaça a equação.
Integrando a esquerda:
E integrando a direita:

Passo 4

Vamos resolver as integrações:
Para a esquerda, considerando como constante em relação a :
Para a direita:

Passo 5

Igualamos as integrais:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :

Passo 7

Substituímos o valor de de volta na equação:

Resposta

A solução para o problema de valor inicial é:

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