Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem
e
. Assim, temos:
Isso facilita na hora de integrar ambos os lados.
Passo 3
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função
que satisfaça a equação.
Integrando a esquerda:
E integrando a direita:
Passo 4
Vamos resolver as integrações:
Para a esquerda, considerando
como constante em relação a
:
Para a direita:
Passo 5
Igualamos as integrais:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Passo 7
Substituímos o valor de
de volta na equação:
Resposta
A solução para o problema de valor inicial é:
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Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se
então o raio de convergência da série de potências
é
.