Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar até onde a série “funciona” e não “explode”.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
A ideia do Teste da Razão é calcular o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge.
Agora, vamos montar a razão an+1an = (2n+1)(2n)(2n-1) x:
Simplificando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty | (2n+1)(2n)(2n-1) x | = limn to infty | 2n4n^2 x | = limn to infty | 12n x | = 0 tende ao infinito:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de .
Resposta
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.