Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar até onde a série “funciona” e não “explode”.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
A ideia do Teste da Razão é calcular o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos montar a razão :
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir:
Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas: ( ) Se então o raio de convergência da série de potências é .
Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):