Determine o intervalo e o raio de convergência das séries de potências a seguir: sumn=1^+infty 1.3 cdot 5 cdots cdot(2 n-1)(2 n-2)! x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada:
sumn=1^+infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-2)! x^n
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, e para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a encontrar até onde a série “funciona” e não “explode”.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-2)! x^n
A ideia do Teste da Razão é calcular o limite de | an+1an | quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge.

Passo 3

Vamos calcular an+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2(n+1)-1)(2(n+1)-2)! x^n+1 = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n+1)(2n)! x^n+1:
an+1an = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n+1)(2n)! x^n+11 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-2)! x^n
Agora, vamos montar a razão an+1an = (2n+1)(2n)(2n-1) x:
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty | (2n+1)(2n)(2n-1) x | = limn to infty | 2n4n^2 x | = limn to infty | 12n x | = 0 tende ao infinito:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.

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