Classifique as matrizes abaixo em escalonada, escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
(a)
(b)
[lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0]
©
[llll1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0]
(d)
[ll0 & 0 0 & 0 0 & 0]
(e)
[rrrr1 & -3 & 4 & 7 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 1 & 5]
(f)
[llll1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 0]
(g)
[rrrr1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0]
(h)
[lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1]
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos várias matrizes e precisamos classificá-las como escalonadas, escalonadas reduzidas, ambas ou nenhuma. Para isso, vamos usar os conceitos de forma de linha escalonada e forma de linha escalonada reduzida da álgebra linear. Precisamos identificar os pivôs, verificar a posição deles e garantir que acima e abaixo dos pivôs haja zeros conforme cada definição.
Passo 2
Vamos analisar a matriz (a):
Forma Escalonada:
- Cada pivô está à direita do pivô da linha anterior.
- Todos os elementos abaixo dos pivôs são zero.
Forma Escalonada Reduzida:
- Além dos requisitos da forma escalonada, os elementos acima dos pivôs também são zero.
- Cada pivô é igual a 1.
Análise:
- Pivôs nas posições (1,1) e (2,2).
- Não há elementos acima dos pivôs diferentes de zero.
Conclusão: A matriz é escalonada reduzida.
Passo 3
Vamos analisar a matriz (b):
Forma Escalonada:
- Pivôs nas posições (1,1) e (2,2).
- Todos os elementos abaixo dos pivôs na terceira linha.
Forma Escalonada Reduzida:
- Deve haver zeros acima e abaixo dos pivôs.
Análise:
- O elemento (3,2) é 2, que está abaixo do pivô (2,2).
Conclusão: A matriz é apenas escalonada.
Passo 4
Vamos analisar a matriz ©:
Forma Escalonada:
- Pivôs nas posições (1,1) e (2,3).
- Pivô da segunda linha está à direita do pivô da primeira linha.
Forma Escalonada Reduzida:
- Além disso, deve haver zeros acima dos pivôs.
Análise:
- Não há elementos acima do pivô (2,3).
Conclusão: A matriz é escalonada.
Passo 5
Vamos analisar a matriz (d):
Forma Escalonada:
- Todas as linhas são zeros, o que é permitido.
Forma Escalonada Reduzida:
- Também atende aos requisitos vacuamente.
Conclusão: A matriz é tanto escalonada quanto escalonada reduzida.
Passo 6
Vamos analisar a matriz (e):
Forma Escalonada:
- Pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3).
- Cada pivô está à direita do anterior.
Forma Escalonada Reduzida:
- Zeros acima e abaixo de cada pivô.
- Cada pivô é 1.
Análise:
- Existem elementos não zero acima dos pivôs, como -3 na posição (1,2) e 2 na posição (2,3).
Conclusão: A matriz é escalonada.
Passo 7
Vamos analisar a matriz (f):
Forma Escalonada:
- Pivô da primeira linha na posição (1,1).
- Pivô da segunda linha na posição (2,2), que está à direita do primeiro pivô.
Forma Escalonada Reduzida:
- Deve haver zeros acima dos pivôs.
Análise:
- O elemento (2,1) é 1, que está abaixo do pivô (1,1).
Conclusão: A matriz é escalonada.
Passo 8
Vamos analisar a matriz (g):
Forma Escalonada:
- Pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3).
- Cada pivô está à direita do anterior.
Forma Escalonada Reduzida:
- Zeros acima e abaixo de cada pivô.
- Cada pivô é 1.
Análise:
- Elementos acima dos pivôs, como -1 na posição (1,2).
Conclusão: A matriz é escalonada.
Passo 9
Vamos analisar a matriz (h):
Forma Escalonada:
- Pivôs nas posições (1,1), (2,2) e (3,3).
- Cada pivô está à direita do anterior.
Forma Escalonada Reduzida:
- Deve haver zeros acima dos pivôs.
Análise:
- O elemento (2,1) é 1, que está abaixo do pivô (1,1).
Conclusão: A matriz é escalonada.
Resposta
(a) Escalonada reduzida
(b) Escalonada
© Escalonada
(d) Ambas (Escalonada e Escalonada reduzida)
(e) Escalonada
(f) Escalonada
(g) Escalonada
(h) Escalonada
(b) Escalonada
© Escalonada
(d) Ambas (Escalonada e Escalonada reduzida)
(e) Escalonada
(f) Escalonada
(g) Escalonada
(h) Escalonada
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