Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O subespaço é definido por:
Isso quer dizer que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 cuja derivada é zero. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de derivadas e subespaços vetoriais.
Passo 2
Vamos analisar o que significa que 2at + b = 0 . A derivada de um polinômio 2a = 0 e b = 0 é . Se para todo , isso significa que:
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer valor de , os coeficientes devem ser iguais a zero:
Passo 3
Resolvendo as equações a = 0 e b = 0 e p(t) = 0 cdot t^2 + 0 cdot t + c = c , obtemos:
Portanto, os polinômios em têm a forma:
Ou seja, são polinômios constantes, onde é um número real.
Passo 4
Agora, vamos construir uma base para p(t) = c cdot 1 . Como todo polinômio em é constante, podemos representar qualquer elemento de como múltiplo de :
Assim, a base de é simplesmente o conjunto .
Passo 5
Finalmente, a dimensão de é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um elemento (), a dimensão de é 1.