Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
a) uma base e dimensão de U.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos o espaço vetorial U = p(t) in P^2(R) | p^prime(t) = 0 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O subespaço é definido por:
Isso quer dizer que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 cuja derivada é zero. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de derivadas e subespaços vetoriais.

Passo 2

Vamos analisar o que significa que 2at + b = 0 . A derivada de um polinômio 2a = 0 e b = 0 é . Se para todo , isso significa que:
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer valor de , os coeficientes devem ser iguais a zero:

Passo 3

Resolvendo as equações a = 0 e b = 0 e p(t) = 0 cdot t^2 + 0 cdot t + c = c , obtemos:
Portanto, os polinômios em têm a forma:
Ou seja, são polinômios constantes, onde é um número real.

Passo 4

Agora, vamos construir uma base para p(t) = c cdot 1 . Como todo polinômio em é constante, podemos representar qualquer elemento de como múltiplo de :
Assim, a base de é simplesmente o conjunto .

Passo 5

Finalmente, a dimensão de é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um elemento ( ), a dimensão de é 1.

Resposta

Uma base de é e a dimensão de é 1.

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