Dados os Subespaços,
U=p(t) in P^2(R) / p^prime(t)=0
W=p(t) in P^2(R) / p(0)=p(1)=0
de V=P^2(R). Determine
a) uma base e dimensão de U.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi pedido. Temos o espaço vetorial U = p(t) in P^2(R) | p^prime(t) = 0 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. O subespaço é definido por:
Isso quer dizer que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 cuja derivada é zero. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de derivadas e subespaços vetoriais.

Passo 2

Vamos analisar o que significa que 2at + b = 0 . A derivada de um polinômio 2a = 0 e b = 0 é . Se para todo , isso significa que:
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer valor de , os coeficientes devem ser iguais a zero:

Passo 3

Resolvendo as equações a = 0 e b = 0 e p(t) = 0 cdot t^2 + 0 cdot t + c = c , obtemos:
Portanto, os polinômios em têm a forma:
Ou seja, são polinômios constantes, onde é um número real.

Passo 4

Agora, vamos construir uma base para p(t) = c cdot 1 . Como todo polinômio em é constante, podemos representar qualquer elemento de como múltiplo de :
Assim, a base de é simplesmente o conjunto .

Passo 5

Finalmente, a dimensão de é o número de vetores na base. Como nossa base tem apenas um elemento ( ), a dimensão de é 1.

Resposta

Uma base de é e a dimensão de é 1.

Exercícios relacionados

Classifique as matrizes abaixo em escalonada, escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
(a) [lll1 & 2 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0]
(b) [lll1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 0]
© [llll1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0]
(d) [ll0 & 0 0 & 0 0 & 0]
(e) [rrrr1 & -3 & 4 & 7 0 & 1 & 2 & 2 0 & 0 & 1 & 5]
(f) [llll1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & 0]
(g) [rrrr1 & -1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0]
(h) [lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1]
Duas forças representadas pelos vetores F1 e F2 atuando numa partícula, fazem com ela de desloque ao longo de uma linha reta, do ponto (2,5) ao ponto (7,3). Se F1=3 i-j e F2=-4 i+5 j, sendo as intensidades das forças medidas em newtons e a distância em metros, ache o trabalho realizado pelas duas forças atuando juntas. (Use que: T=F cdot d )
Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
c) ( ) O conjunto A=p1, p2, p3, onde p1(t)=t^2-2 t+1, p2(t)=t+2 e p3(t)=2 t^2-t é LI.
Verifique se R^2 com as operações abaixo é um R-espaço vetorial:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+y1, 0) a(x1, y1)=(a x1, a y1)
para quaisquer a, x1, y1, x2, y2 in R.