Classifique as matrizes abaixo em positiva definida ou positiva semidefinida.
(a) [ccc4 & 1 & 2 4 & 4 & -1 2 & -4 & 4]
(b) [ccc1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]
© [ccc2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar três matrizes como positiva definida ou positiva semidefinida. Isso está relacionado a álgebra linear, especificamente ao estudo de matrizes e suas propriedades. Para isso, vamos usar o Critério de Sylvester, que nos ajuda a determinar se uma matriz é positiva definida verificando os determinantes dos principais menores (submatrizes).

Passo 2

Começando pela matriz (a):
A = 4 & 1 & 2 4 & 4 & -1 2 & -4 & 4
Primeiro, vamos calcular os determinantes dos menores principais. O menor de ordem 1 é simplesmente os elementos da diagonal principal, então o primeiro determinante é 4, que é positivo.

Passo 3

Agora, calculamos o determinante do menor principal de ordem 2:
4 & 1 4 & 4 = (4)(4) - (1)(4) = 16 - 4 = 12
Como 12 também é positivo, seguimos para o determinante da matriz completa.

Passo 4

Calculando o determinante da matriz inteira:
4 & 1 & 2 4 & 4 & -1 2 & -4 & 4 = 44 & -1 -4 & 4 - 14 & -1 2 & 4 + 24 & 4 2 & -4
= 4(16 - 4) - 1(16 + 2) + 2(-16 - 8) = 4(12) - 1(18) + 2(-24) = 48 - 18 - 48 = -18
Como o determinante é negativo, a matriz não é positiva definida.

Passo 5

Agora, vamos para a matriz (b):
B = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1
Novamente, começamos com os menores de ordem 1, que são 1, 1 e 1, todos positivos.

Passo 6

Calculando o determinante do menor principal de ordem 2:
1 & 0 0 & 1 = (1)(1) - (0)(0) = 1
Positivo também. Agora, calculamos o determinante da matriz inteira.

Passo 7

Determinante da matriz B:
1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = 11 & 0 0 & 1 - 0 + (-1)0 & 1 -1 & 0 = 1(1) - 0 + (-1)(0 - (-1)) = 1 - 0 + (-1)(1) = 1 - 1 = 0
O determinante é zero, então a matriz é positiva semidefinida.

Passo 8

Por fim, a matriz ©:
C = 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2
Começamos com os menores de ordem 1: 2, 2 e 2, todos positivos.

Passo 9

Determinante do menor principal de ordem 2:
2 & 1 1 & 2 = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
Positivo também. Agora, calculamos o determinante da matriz completa.

Passo 10

Determinante da matriz C:
2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2 = 22 & 1 1 & 2 - 11 & 1 -1 & 2 + (-1)1 & 2 -1 & 1
= 2(4 - 1) - 1(2 - (-1)) + (-1)(1 - (-2)) = 2(3) - 1(3) + (-1)(3) = 6 - 3 - 3 = 0
O determinante é zero, então a matriz é positiva semidefinida.

Resposta

(a) A matriz é positiva semidefinida.
(b) A matriz é positiva semidefinida.
© A matriz é positiva semidefinida.

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