Seja undersetsimY sim Np(mu, sigma^2 l). Se A é uma matriz simétrica de posto completo, calcule E(undersetsimY^prime A undersetsim Y).

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor aleatório undersetsimY que segue uma distribuição Normal multivariada de dimensão p com média mu e matriz de covariância sigma^2 I, onde I é a matriz identidade. Além disso, temos uma matriz A que é simétrica e de posto completo. Nosso objetivo é calcular a expectativa de undersetsimY^prime A undersetsimY, ou seja, E(undersetsimY^prime A undersetsim Y). Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre propriedades de matrizes na distribuição Normal multivariada e como calcular expectativas envolvendo produtos quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se undersetsimY sim Np(mu, sigma^2 I), então undersetsimY tem média mu e cada componente de undersetsimY é independente com variância sigma^2. A matriz A sendo simétrica significa que A = A^prime, o que simplifica nossos cálculos futuros.

Passo 3

Queremos calcular E(undersetsimY^prime A undersetsim Y). Esse tipo de expressão é chamada de forma quadrática. Existe uma fórmula para a expectativa de uma forma quadrática de uma variável aleatória normal:
E(undersetsimY^prime A undersetsim Y) = trace(A Sigma) + mu^prime A mu
onde Sigma é a matriz de covariância de undersetsimY.

Passo 4

No nosso caso, a matriz de covariância Sigma é sigma^2 I. Então, vamos substituir Sigma na fórmula:
E(undersetsimY^prime A undersetsim Y) = trace(A cdot sigma^2 I) + mu^prime A mu

Passo 5

Simplificando a expressão, sabemos que a multiplicação de uma matriz A pela matriz identidade I resulta na própria matriz A. Além disso, a trace de sigma^2 A é sigma^2 trace(A). Portanto:
E(undersetsimY^prime A undersetsim Y) = sigma^2 trace(A) + mu^prime A mu

Resposta

A expectativa E(undersetsimY^prime A undersetsim Y) é igual a sigma^2 trace(A) + mu^prime A mu.

Exercícios relacionados

Seja undersetsimY sim Nn(mu, Sigma) onde o posto de Sigma é r(Sigma)=n. Determine a distribuição de undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY
Considere
[l X0 X1 X2 ] sim N3(O, Sigma) , onde Sigma=[lll 4 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 ]
(a) Determine a distribuição marginal de X1.
(b) Determine a distribuição conjunta de X1 e X2.
© Determine a distribuição condicional de X0 dado X1=x1 e X2=x2.
(d) Calcule rho12, rho01, rho02.
(e) Determine a distribuição de Z=4 X0-6 X1+X2
(f) Determine a covariância entre Z1 e Z2 onde Z1=X0-X1+2 X2 e Z2=2 X1.
Classifique as matrizes abaixo em positiva definida ou positiva semidefinida.
(a) [ccc4 & 1 & 2 4 & 4 & -1 2 & -4 & 4]
(b) [ccc1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]
© [ccc2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2]
Seja A uma matriz p times p simétrica, positiva definida e sua decomposição espectral A=E D E^prime.
(a) Prove que E^prime E=E E^prime=Ip.
(b) Utilizando (a), mostre que A=P P, onde P=E D^1 / 2 E^prime e D^1 / 2=diagraizlambda1, raizlambda2, ldots, raizlambdap, com lambdai © Mostre que A^-1=E D^-1 E^prime.
(d) Dada a matriz
A=[cc 9 & -2 -2 & 6 ]
Determine seus autovalores e autovetores. Determine sua decomposição espectral. Utilizando o item © determine a inversa de A. Utilizando o item (b), determine P tal que A=P P.