Seja . Se é uma matriz simétrica de posto completo, calcule .
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos um vetor aleatório que segue uma distribuição Normal multivariada de dimensão com média e matriz de covariância , onde é a matriz identidade. Além disso, temos uma matriz que é simétrica e de posto completo. Nosso objetivo é calcular a expectativa de , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar saber um pouco sobre propriedades de matrizes na distribuição Normal multivariada e como calcular expectativas envolvendo produtos quadráticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se , então tem média e cada componente de é independente com variância . A matriz sendo simétrica significa que , o que simplifica nossos cálculos futuros.
Passo 3
Queremos calcular . Esse tipo de expressão é chamada de forma quadrática. Existe uma fórmula para a expectativa de uma forma quadrática de uma variável aleatória normal:
onde é a matriz de covariância de .
Passo 4
No nosso caso, a matriz de covariância é . Então, vamos substituir na fórmula:
Passo 5
Simplificando a expressão, sabemos que a multiplicação de uma matriz pela matriz identidade resulta na própria matriz . Além disso, a trace de é . Portanto: