Seja undersetsimY sim Nn(mu, Sigma) onde o posto de Sigma é r(Sigma)=n. Determine a distribuição de undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório undersetsimY que segue uma distribuição normal multivariada, representada por Nn(mu, Sigma). Aqui, mu é o vetor de médias e Sigma é a matriz de covariância, que tem posto r(Sigma) = n, ou seja, ela é não singular. O que precisamos descobrir é qual é a distribuição de undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um vetor aleatório que segue uma distribuição normal multivariada, undersetsimY sim Nn(mu, Sigma), a expressão undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY está relacionada à forma quadrática da distribuição normal.

Passo 3

Se a média mu fosse o vetor zero, ou seja, mu = 0, então a expressão undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY seguiria uma distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, representada por chi^2n. Isso porque nesse caso estamos lidando com uma distribuição central.

Passo 4

No entanto, no nosso caso, a média mu pode não ser zero. Quando a média é diferente de zero, a expressão undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY segue uma distribuição qui-quadrado não central. A não centralidade vem do termo da média mu e é medida pelo parâmetro de não centralidade lambda.

Passo 5

O parâmetro de não centralidade lambda é calculado como lambda = mu^prime Sigma^-1 mu. Portanto, a distribuição da nossa expressão é uma qui-quadrado não central com n graus de liberdade e parâmetro de não centralidade lambda.

Resposta

undersetsimY^prime Sigma^-1 undersetsimY sim chi^2n(lambda), onde lambda = mu^prime Sigma^-1 mu.

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Considere
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l Xi 1=mu+epsiloni 1 Xi 2=mu+de
onde Xi 1 e Xi 2 são medidas do i-ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo undersetsimiepsilon=(epsiloni 1, epsiloni 2)^prime, i=1, ldots, n são vetores aleatórios independentes, Var(epsiloni 1)=sigma1^2, Var(epsiloni 2)=sigma2^2 e Cov(epsiloni 1, epsiloni 2)=rho sigma1 sigma2
(a) Escreva esse modelo na forma matricial. Em que tipo de testes de hipóteses poderíamos estar interessados nesse modelo?
(b) Construa a matriz de variância de covariância de undersetsimepsilon e escreva em notação de produto de Kronecker.
Seja undersetsimY sim Np(mu, sigma^2 l). Se A é uma matriz simétrica de posto completo, calcule E(undersetsimY^prime A undersetsim Y).
Classifique as matrizes abaixo em positiva definida ou positiva semidefinida.
(a) [ccc4 & 1 & 2 4 & 4 & -1 2 & -4 & 4]
(b) [ccc1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1]
© [ccc2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2]