Seja onde o posto de é . Determine a distribuição de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um vetor aleatório que segue uma distribuição normal multivariada, representada por . Aqui, é o vetor de médias e é a matriz de covariância, que tem posto , ou seja, ela é não singular. O que precisamos descobrir é qual é a distribuição de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um vetor aleatório que segue uma distribuição normal multivariada, , a expressão está relacionada à forma quadrática da distribuição normal.
Passo 3
Se a média fosse o vetor zero, ou seja, , então a expressão seguiria uma distribuição qui-quadrado com graus de liberdade, representada por . Isso porque nesse caso estamos lidando com uma distribuição central.
Passo 4
No entanto, no nosso caso, a média pode não ser zero. Quando a média é diferente de zero, a expressão segue uma distribuição qui-quadrado não central. A não centralidade vem do termo da média e é medida pelo parâmetro de não centralidade .
Passo 5
O parâmetro de não centralidade é calculado como . Portanto, a distribuição da nossa expressão é uma qui-quadrado não central com graus de liberdade e parâmetro de não centralidade .