Classifique os operadores abaixo: T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(2 x-2 y,-2 x+5 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar um operador linear definido por . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, representações matriciais e as diferentes categorias que esses operadores podem se enquadrar, como escalas, rotações, reflexões, entre outros.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação x y como uma matriz. Sabemos que qualquer operador linear de A = 2 & -2 -2 & 5 para pode ser escrito como uma matriz tal que . Olhando para a definição de , vemos que:

Passo 3

Agora, vamos analisar essa matriz para classificar o operador. Uma forma comum de classificar é verificar se a transformação é invertível. Para isso, calculamos o determinante da matriz det(A) = (2)(5) - (-2)(-2) = 10 - 4 = 6 .
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que é invertível, ou seja, a transformação é invertível.

Passo 4

Outra forma de classificar a transformação é verificar se é uma rotação, reflexão, escala ou uma combinação dessas. Para isso, podemos olhar para os elementos da matriz e ver se ela pode ser decomposta em matrizes conhecidas dessas transformações.
Observando a matriz A = 2 & -2 -2 & 5 :
cos theta & -sin theta sin theta & cos theta
Podemos notar que não segue a forma de uma matriz de rotação padrão, que seria:
Também não é uma reflexão pura ou uma escala única. Portanto, representa uma combinação de transformações, possivelmente uma combinação de escala e reflexões nos eixos.

Passo 5

Para entender melhor o tipo de transformação, podemos calcular os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 2 - lambda & -2 -2 & 5 - lambda = (2 - lambda)(5 - lambda) - (-2)(-2) = lambda^2 - 7lambda + 6 = 0 lambda = 1 e lambda = 6 , que nos dão informações sobre como a transformação alonga ou encolhe o espaço.
Resolvendo a equação característica:
Como os autovalores são positivos e diferentes, isso indica que a transformação estica o espaço ao longo de dois eixos diferentes, sem rotação ou reflexão.

Resposta

O operador linear é uma transformação invertível que estica o plano de ao longo de dois eixos distintos, correspondentes aos autovalores 1 e 6, sem envolver rotação ou reflexão.

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