Classifique os operadores abaixo: tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar um operador linear definido por . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, representações matriciais e as diferentes categorias que esses operadores podem se enquadrar, como escalas, rotações, reflexões, entre outros.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Sabemos que qualquer operador linear de para pode ser escrito como uma matriz tal que . Olhando para a definição de , vemos que:

Passo 3

Agora, vamos analisar essa matriz para classificar o operador. Uma forma comum de classificar é verificar se a transformação é invertível. Para isso, calculamos o determinante da matriz .
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que é invertível, ou seja, a transformação é invertível.

Passo 4

Outra forma de classificar a transformação é verificar se é uma rotação, reflexão, escala ou uma combinação dessas. Para isso, podemos olhar para os elementos da matriz e ver se ela pode ser decomposta em matrizes conhecidas dessas transformações.
Observando a matriz :
Podemos notar que não segue a forma de uma matriz de rotação padrão, que seria:
Também não é uma reflexão pura ou uma escala única. Portanto, representa uma combinação de transformações, possivelmente uma combinação de escala e reflexões nos eixos.

Passo 5

Para entender melhor o tipo de transformação, podemos calcular os autovalores da matriz , que nos dão informações sobre como a transformação alonga ou encolhe o espaço.
Resolvendo a equação característica:
Como os autovalores são positivos e diferentes, isso indica que a transformação estica o espaço ao longo de dois eixos diferentes, sem rotação ou reflexão.

Resposta

O operador linear é uma transformação invertível que estica o plano de ao longo de dois eixos distintos, correspondentes aos autovalores 1 e 6, sem envolver rotação ou reflexão.

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b.
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