Resolva cada sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
b. ccc2 x+3 y-z & = & -7 x+y+y & = & 4 -x-2 y+3 z & = & 15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando a eliminação de Gauss-Jordan. Esse método é uma técnica para encontrar as soluções de sistemas lineares transformando a matriz ampliada do sistema em uma forma reduzida que facilita a identificação das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
2 & 3 & -1 & | & -7 1 & 2 & 0 & | & 4 -1 & -2 & 3 & | & 15

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde teremos 1s na diagonal principal e 0s abaixo e acima deles. Vamos começar pela primeira coluna.
Passo 3.1: Podemos usar a segunda linha para simplificar, já que ela tem um 1 na primeira posição.
1 & 2 & 0 & | & 4 2 & 3 & -1 & | & -7 -1 & -2 & 3 & | & 15

Passo 4

Passo 4.1: Agora, vamos eliminar o 2 da primeira coluna na segunda linha. Fazemos isso multiplicando a primeira linha por 2 e subtraindo da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2 × Linha1
1 & 2 & 0 & | & 4 0 & -1 & -1 & | & -15 -1 & -2 & 3 & | & 15
Passo 4.2: Em seguida, eliminamos o -1 da primeira coluna na terceira linha, somando a primeira linha à terceira:
Linha3 = Linha3 + Linha1
1 & 2 & 0 & | & 4 0 & -1 & -1 & | & -15 0 & 0 & 3 & | & 19

Passo 5

Agora, temos uma matriz triangular superior. Vamos resolver de baixo para cima.
Passo 5.1: A terceira linha nos dá a equação:
3z = 19 implies z = 193

Passo 6

Passo 6.1: Substituímos o valor de -1y - 1(193) = -15 - y - 193 = -15 - y = -15 + 193 = -453 + 193 = -263 y = 263 na segunda linha:

Passo 7

Passo 7.1: Finalmente, substituímos os valores de x + 2(263) = 4 x + 523 = 4 x = 4 - 523 = 123 - 523 = -403 e na primeira linha:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -403, y = 263, z = 193

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