l -a x+b y+a z=0 b^2 x+a^3 y+4 a^2 z=0 4 a^2 x+a^3 y+b^2 z=0
Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine b em função de a. Determine a solução do sistema para a=1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas , e . A gente precisa descobrir o valor de em função de para que esse sistema tenha uma solução diferente de zero (não trivial). Depois, vamos resolver o sistema quando . Para resolver isso, vamos precisar usar determinantes de matrizes e um pouco de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das equações. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas A = - a & b & a b^2 & a^3 & 4 a^2 4 a^2 & a^3 & b^2 , e em cada equação:

Passo 3

Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante dessa matriz precisa ser igual a zero. Então, vamos calcular det(A) = 0 e igualar a zero:

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = -a cdot ( a^3 cdot b^2 - 4 a^2 cdot a^3 ) - b cdot ( b^2 cdot b^2 - 4 a^2 cdot a^3 ) + a cdot ( b^2 cdot a^3 - a^3 cdot 4 a^2 ) . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
det(A) = (-a^4b^2 + 4a^6) + (-b^5 + 4a^5b) + (a^4b^2 - 4a^6) = -b^5 + 4a^5b

Passo 6

Para que o determinante seja zero:
-b^5 + 4a^5b = 0
Podemos fatorar o b(-b^4 + 4a^5) = 0 :
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 7

Portanto, b = 0 ou b = raiz[4]4a^5 em função de é:

Passo 8

Agora, vamos determinar a solução do sistema para b = raiz[4]4 ( 12 )^5 = raiz[4]4 cdot 132 = raiz[4]18 = ( 18 )^14 = 12^34 . Primeiro, vamos encontrar :

Passo 9

Com - 12x + 12^34y + 12z = 0 (12^34)^2x + (12)^3y + 4 (12)^2z = 0 4 (12)^2x + (12)^3y + (12^34)^2z = 0 e - 12x + 12^34y + 12z = 0 12^32x + 18y + 11z = 0 11x + 18y + 12^32z = 0 , substituímos esses valores no sistema original:
Simplificando as equações:

Resposta

Assim, para , o valor de é e a solução do sistema é determinada pelos valores de , e que satisfazem as equações acima.

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