Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine em função de . Determine a solução do sistema para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas , e . A gente precisa descobrir o valor de em função de para que esse sistema tenha uma solução diferente de zero (não trivial). Depois, vamos resolver o sistema quando . Para resolver isso, vamos precisar usar determinantes de matrizes e um pouco de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das equações. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas , e em cada equação:

Passo 3

Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante dessa matriz precisa ser igual a zero. Então, vamos calcular e igualar a zero:

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:

Passo 6

Para que o determinante seja zero:
Podemos fatorar o :
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 7

Portanto, em função de é:

Passo 8

Agora, vamos determinar a solução do sistema para . Primeiro, vamos encontrar :

Passo 9

Com e , substituímos esses valores no sistema original:
Simplificando as equações:

Resposta

Assim, para , o valor de é e a solução do sistema é determinada pelos valores de , e que satisfazem as equações acima.

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