Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine b em função de a. Determine a solução do sistema para a=1 / 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três incógnitas , e . A gente precisa descobrir o valor de em função de para que esse sistema tenha uma solução diferente de zero (não trivial). Depois, vamos resolver o sistema quando . Para resolver isso, vamos precisar usar determinantes de matrizes e um pouco de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das equações. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas A = - a & b & a b^2 & a^3 & 4 a^2 4 a^2 & a^3 & b^2 , e em cada equação:
Passo 3
Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante dessa matriz precisa ser igual a zero. Então, vamos calcular det(A) = 0 e igualar a zero:
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = -a cdot ( a^3 cdot b^2 - 4 a^2 cdot a^3 ) - b cdot ( b^2 cdot b^2 - 4 a^2 cdot a^3 ) + a cdot ( b^2 cdot a^3 - a^3 cdot 4 a^2 ) . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim: