Classifique os operadores abaixo: T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(9 x-3 y-6 z, 3 x+9 y+6 z, 6 x-6 y+9 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar o operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z) = (9x - 3y - 6z, 3x + 9y + 6z, 6x - 6y + 9z). A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e propriedades de operadores lineares. Vamos representar esse operador como uma matriz e analisar suas características para classificá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear T como uma matriz. Para isso, observamos que T(x, y, z) transforma o vetor (x, y, z) em um novo vetor. A matriz associada será:
A = 9 & -3 & -6 3 & 9 & 6 6 & -6 & 9

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante nos ajuda a saber se a transformação é invertível ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
det(A) = 9 cdot (9 cdot 9 - 6 cdot (-6)) - (-3) cdot (3 cdot 9 - 6 cdot 6) + (-6) cdot (3 cdot (-6) - 9 cdot 6)
det(A) = 9 cdot (81 + 36) - (-3) cdot (27 - 36) + (-6) cdot (-18 - 54)
det(A) = 9 cdot 117 + 3 cdot 9 + 6 cdot 72 = 1053 + 27 + 432 = 1512
Como det(A) = 1512 neq 0, a matriz é invertível, ou seja, o operador T é invertível.

Passo 4

Vamos também verificar se a matriz A é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta. Vamos comparar A com A^T:
A^T = 9 & 3 & 6 -3 & 9 & -6 -6 & 6 & 9
Claramente, A neq A^T, então a matriz não é simétrica.

Passo 5

Além disso, podemos analisar os autovalores da matriz A para entender melhor sua classificação. Cálculos detalhados de autovalores podem ser complexos, mas sabemos que como a matriz é invertível, nenhum dos autovalores é zero.

Resposta

O operador linear T é representado por uma matriz invertível de ordem 3, não simétrica, com todos os autovalores diferentes de zero. Portanto, T é um operador linear invertível em R^3.

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