Beleza, vamos lá! O exercício pede para classificar o operador linear definido por . A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e propriedades de operadores lineares. Vamos representar esse operador como uma matriz e analisar suas características para classificá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, observamos que transforma o vetor em um novo vetor. A matriz associada será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante nos ajuda a saber se a transformação é invertível ou não. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Como det(A) = 1512 neq 0, a matriz é invertível, ou seja, o operador T é invertível.
Passo 4
Vamos também verificar se a matriz A é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta. Vamos comparar A com A^T:
A^T = 9 & 3 & 6 -3 & 9 & -6 -6 & 6 & 9
Claramente, A neq A^T, então a matriz não é simétrica.
Passo 5
Além disso, podemos analisar os autovalores da matriz A para entender melhor sua classificação. Cálculos detalhados de autovalores podem ser complexos, mas sabemos que como a matriz é invertível, nenhum dos autovalores é zero.
Resposta
O operador linear T é representado por uma matriz invertível de ordem 3, não simétrica, com todos os autovalores diferentes de zero. Portanto, T é um operador linear invertível em R^3.