Seja o operador linear T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x+y+z, 3 x-2 y-z,-2 x+3 y+2 z), obtenha bases para os seguintes subespaços do R^3: Im(T), N(T), Im(T^*) e N(T^*)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear T(x, y, z) = (x + y + z, 3x - 2y - z, -2x + 3y + 2z) definido por:
O objetivo é encontrar bases para os seguintes subespaços de :
  1. – Imagem de
  2. – Núcleo de
  3. – Imagem do operador adjunto de
  4. – Núcleo do operador adjunto de
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes de operadores lineares, imagem, núcleo e operadores adjuntos.

Passo 2

Vamos começar representando o operador T = 1 & 1 & 1 3 & -2 & -1 -2 & 3 & 2 como uma matriz. Para isso, observamos que pode ser escrito na forma matricial:
Aqui, cada coluna representa a imagem dos vetores canônicos de .

Passo 3

Encontrando a Imagem de 1 & 1 & 1 3 & -2 & -1 -2 & 3 & 2 ( 1 & 1 & 1 0 & -5 & -4 -2 & 3 & 2 )
A imagem de 1 & 1 & 1 0 & -5 & -4 0 & 5 & 4 é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como 1 & 1 & 1 0 & -5 & -4 0 & 0 & 0 . Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar as colunas independentes da matriz de Im(T) = span 1 3 -2 , 1 -2 3 .
Vamos construir a matriz aumentada e realizar operações de linha para encontrar o posto:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda:
  • Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira:
  • Somamos a segunda e a terceira linha:
O posto da matriz é 2, o que significa que a imagem de é um subespaço de dimensão 2.
Escolhemos as duas primeiras colunas como vetores base:

Passo 4

Encontrando o Núcleo de x + y + z = 0 3x - 2y - z = 0 -2x + 3y + 2z = 0 ( 3x - 2y - (-x - y) = 0 Rightarrow 4x - y = 0 Rightarrow y = 4x )
O núcleo de -2x + 3(4x) + 2(-x - 4x) = 0 Rightarrow -2x + 12x - 10x = 0 Rightarrow 0 = 0 consiste em todos os vetores y = 4x, z = -5x tais que N(T) = span 1 4 -5 . Isso nos leva ao sistema linear:
Vamos resolver esse sistema:
  • Da primeira equação, .
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo e na terceira equação:
Isso significa que temos uma solução livre com sendo o parâmetro. Então, podemos expressar:
Portanto, o núcleo é gerado por:

Passo 5

Encontrando o Operador Adjunto lang<= T(u), v rang<= = lang<= u, T^*(v) rang<= e sua Matriz
O operador adjunto T^* = 1 & 3 & -2 1 & -2 & 3 1 & -1 & 2 é definido de forma que, para todos os vetores :
No espaço euclidiano , o operador adjunto corresponde simplesmente à transposta da matriz de . Portanto, a matriz de é:

Passo 6

Encontrando a Imagem do Operador Adjunto 1 & 3 & -2 1 & -2 & 3 1 & -1 & 2
Para encontrar a imagem de 1 & 3 & -2 0 & -5 & 5 1 & -1 & 2 , seguimos o mesmo procedimento usado para 1 & 3 & -2 0 & -5 & 5 0 & -4 & 4 .
Analisamos a matriz de 1 & 3 & -2 0 & 1 & -1 0 & -4 & 4 :
1 & 3 & -2 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0
Realizamos operações de linha:
  • Subtraímos a primeira linha da segunda:
Im(T^*) = span 1 1 1 , 3 -2 -1
  • Subtraímos a primeira linha da terceira:
  • Multiplicamos a segunda linha por :
  • Adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira:
O posto é 2, então a imagem de é de dimensão 2. Escolhemos as duas primeiras colunas como base:

Passo 7

Encontrando o Núcleo do Operador Adjunto x + 3y - 2z = 0 x - 2y + 3z = 0 x - y + 2z = 0
O núcleo de (-3y + 2z) - 2y + 3z = 0 Rightarrow -5y + 5z = 0 Rightarrow y = z consiste em todos os vetores -z - z + 2z = 0 Rightarrow 0 = 0 tais que x = -z, y = z, z = z . Isso resulta no sistema:
N(T^*) = span -1 1 1
Vamos resolver esse sistema:
  • Da primeira equação, podemos expressar .
  • Substituindo na segunda equação:
  • Substituindo e na terceira equação:
Isso indica que temos uma solução livre com como parâmetro. Então:
Portanto, o núcleo é gerado por:

Resposta

As bases para os subespaços solicitados são:
  1. Imagem de Im(T) = span 1 3 -2 , 1 -2 3 :
N(T) = span 1 4 -5
  1. Núcleo de Im(T^*) = span 1 1 1 , 3 -2 -1 :
N(T^*) = span -1 1 1
  1. Imagem do operador adjunto :
  1. Núcleo do operador adjunto :
Estas bases identificam claramente os subespaços procurados no espaço .

Exercícios relacionados