Seja o operador linear tal que , obtenha bases para os seguintes subespaços do e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por:
O objetivo é encontrar bases para os seguintes subespaços de :
1. – Imagem de
2. – Núcleo de
3. – Imagem do operador adjunto de
4. – Núcleo do operador adjunto de
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes de operadores lineares, imagem, núcleo e operadores adjuntos.
Passo 2
Vamos começar representando o operador como uma matriz. Para isso, observamos que pode ser escrito na forma matricial:
Aqui, cada coluna representa a imagem dos vetores canônicos de .
Passo 3
**Encontrando a Imagem de ()**
A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como . Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar as colunas independentes da matriz de .
Vamos construir a matriz aumentada e realizar operações de linha para encontrar o posto:
- Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda:
- Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira:
- Somamos a segunda e a terceira linha:
O posto da matriz é 2, o que significa que a imagem de é um subespaço de dimensão 2.
Escolhemos as duas primeiras colunas como vetores base:
Passo 4
**Encontrando o Núcleo de ()**
O núcleo de consiste em todos os vetores tais que . Isso nos leva ao sistema linear:
Vamos resolver esse sistema:
- Da primeira equação, .
- Substituindo na segunda equação:
- Substituindo e na terceira equação:
Isso significa que temos uma solução livre com sendo o parâmetro. Então, podemos expressar:
Portanto, o núcleo é gerado por:
Passo 5
**Encontrando o Operador Adjunto e sua Matriz**
O operador adjunto é definido de forma que, para todos os vetores :
No espaço euclidiano , o operador adjunto corresponde simplesmente à transposta da matriz de . Portanto, a matriz de é:
Passo 6
**Encontrando a Imagem do Operador Adjunto **
Para encontrar a imagem de , seguimos o mesmo procedimento usado para .
Analisamos a matriz de :
Realizamos operações de linha:
- Subtraímos a primeira linha da segunda:
- Subtraímos a primeira linha da terceira:
- Multiplicamos a segunda linha por :
- Adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira:
O posto é 2, então a imagem de é de dimensão 2. Escolhemos as duas primeiras colunas como base:
Passo 7
**Encontrando o Núcleo do Operador Adjunto **
O núcleo de consiste em todos os vetores tais que . Isso resulta no sistema:
Vamos resolver esse sistema:
- Da primeira equação, podemos expressar .
- Substituindo na segunda equação:
- Substituindo e na terceira equação:
Isso indica que temos uma solução livre com como parâmetro. Então:
Portanto, o núcleo é gerado por:
Resposta
As bases para os subespaços solicitados são:
1. **Imagem de **:
2. **Núcleo de **:
3. **Imagem do operador adjunto **:
4. **Núcleo do operador adjunto **:
Estas bases identificam claramente os subespaços procurados no espaço .