Seja o operador linear tal que , obtenha bases para os seguintes subespaços do e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por: O objetivo é encontrar bases para os seguintes subespaços de : 1. – Imagem de 2. – Núcleo de 3. – Imagem do operador adjunto de 4. – Núcleo do operador adjunto de Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes de operadores lineares, imagem, núcleo e operadores adjuntos.

Passo 2

Vamos começar representando o operador como uma matriz. Para isso, observamos que pode ser escrito na forma matricial: Aqui, cada coluna representa a imagem dos vetores canônicos de .

Passo 3

**Encontrando a Imagem de ()** A imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como . Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar as colunas independentes da matriz de . Vamos construir a matriz aumentada e realizar operações de linha para encontrar o posto: - Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda: - Adicionamos 2 vezes a primeira linha à terceira: - Somamos a segunda e a terceira linha: O posto da matriz é 2, o que significa que a imagem de é um subespaço de dimensão 2. Escolhemos as duas primeiras colunas como vetores base:

Passo 4

**Encontrando o Núcleo de ()** O núcleo de consiste em todos os vetores tais que . Isso nos leva ao sistema linear: Vamos resolver esse sistema: - Da primeira equação, . - Substituindo na segunda equação: - Substituindo e na terceira equação: Isso significa que temos uma solução livre com sendo o parâmetro. Então, podemos expressar: Portanto, o núcleo é gerado por:

Passo 5

**Encontrando o Operador Adjunto e sua Matriz** O operador adjunto é definido de forma que, para todos os vetores : No espaço euclidiano , o operador adjunto corresponde simplesmente à transposta da matriz de . Portanto, a matriz de é:

Passo 6

**Encontrando a Imagem do Operador Adjunto ** Para encontrar a imagem de , seguimos o mesmo procedimento usado para . Analisamos a matriz de : Realizamos operações de linha: - Subtraímos a primeira linha da segunda: - Subtraímos a primeira linha da terceira: - Multiplicamos a segunda linha por : - Adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira: O posto é 2, então a imagem de é de dimensão 2. Escolhemos as duas primeiras colunas como base:

Passo 7

**Encontrando o Núcleo do Operador Adjunto ** O núcleo de consiste em todos os vetores tais que . Isso resulta no sistema: Vamos resolver esse sistema: - Da primeira equação, podemos expressar . - Substituindo na segunda equação: - Substituindo e na terceira equação: Isso indica que temos uma solução livre com como parâmetro. Então: Portanto, o núcleo é gerado por:

Resposta

As bases para os subespaços solicitados são: 1. **Imagem de **: 2. **Núcleo de **: 3. **Imagem do operador adjunto **: 4. **Núcleo do operador adjunto **: Estas bases identificam claramente os subespaços procurados no espaço .

Exercícios relacionados

Sabendo que esse sistema admite solução não trivial, determine em função de . Determine a solução do sistema para .
Seja o grupo das matrizes de ordem 2 (i.e. ) com coeficientes em e determinante não nulo (com o produto usual de matrizes). Considere (a) Mostre que é um subgrupo de .
Seja , uma matriz quadrada de ordem . O traço de , denotado por , é definido como sendo o número real ou seja, o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal de . Dadas e matrizes quadradas de ordem , valem as seguintes propriedades: (a) (b) , onde (c) (d) Usando algumas destas propriedades verifique que não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .