Seja o grupo das matrizes de ordem 2 (i.e. ) com coeficientes em e determinante não nulo (com o produto usual de matrizes). Considere
(a) Mostre que é um subgrupo de .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto é um subgrupo de . Aqui, é o grupo de todas as matrizes com entradas reais e determinante diferente de zero. A matéria envolvida é a teoria de grupos, especificamente subgrupos. Para resolver, vamos precisar verificar os critérios que definem um subgrupo: a presença do elemento identidade, a existência de inversos e a estabilidade por produto.

Passo 2

Primeiro, identificamos o conjunto :
Aqui, consiste em matrizes diagonais onde o elemento na segunda diagonal satisfaz .

Passo 3

Para ser um subgrupo de , precisamos verificar três condições:
  1. Elemento identidade: A matriz identidade de deve estar em .
  2. Fechamento sob multiplicação: O produto de duas matrizes em também deve estar em .
  3. Existência de inversos: Para toda matriz em , sua inversa também deve estar em .

Passo 4

1. Verificando o elemento identidade:
A matriz identidade em é:
Aqui, , e , então .

Passo 5

2. Verificando o fechamento sob multiplicação:
Sejam duas matrizes em :
onde e .
Multiplicando e :
Precisamos que satisfaça .
Sabemos que e , então:
Portanto, .

Passo 6

3. Verificando a existência de inversos:
Para uma matriz :
Seu inverso é:
Precisamos que satisfaça .
Sabemos que , então:
Portanto, .

Resposta

Assim, satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de . Portanto, é de fato um subgrupo de .

Exercícios relacionados

Seja o operador linear tal que , obtenha bases para os seguintes subespaços do e
Seja , uma matriz quadrada de ordem . O traço de , denotado por , é definido como sendo o número real
ou seja, o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal de . Dadas e matrizes quadradas de ordem , valem as seguintes propriedades:
(a)
(b) , onde
©
(d)
Usando algumas destas propriedades verifique que não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .
Classifique os operadores abaixo: tal que