Seja o grupo das matrizes de ordem 2 (i.e. ) com coeficientes em e determinante não nulo (com o produto usual de matrizes). Considere
(a) Mostre que é um subgrupo de .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto é um subgrupo de . Aqui, é o grupo de todas as matrizes com entradas reais e determinante diferente de zero. A matéria envolvida é a teoria de grupos, especificamente subgrupos. Para resolver, vamos precisar verificar os critérios que definem um subgrupo: a presença do elemento identidade, a existência de inversos e a estabilidade por produto.
Passo 2
Primeiro, identificamos o conjunto H = 1 & 0 0 & a |, a in R e a^3 = 1 :
Aqui, consiste em matrizes diagonais onde o elemento na segunda diagonal satisfaz .
Passo 3
Para ser um subgrupo de , precisamos verificar três condições:
Elemento identidade: A matriz identidade de deve estar em .
Fechamento sob multiplicação: O produto de duas matrizes em também deve estar em .
Existência de inversos: Para toda matriz em , sua inversa também deve estar em .
Passo 4
1. Verificando o elemento identidade:
A matriz identidade em I = 1 & 0 0 & 1 é:
Aqui, , e , então .
Passo 5
2. Verificando o fechamento sob multiplicação:
Sejam duas matrizes em A = 1 & 0 0 & a , B = 1 & 0 0 & b :
AB = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 & 1 cdot 0 + 0 cdot b 0 cdot 1 + a cdot 0 & 0 cdot 0 + a cdot b = 1 & 0 0 & ab
onde (ab)^3 = a^3b^3 = 1 cdot 1 = 1 e .
Multiplicando e :
Precisamos que satisfaça .
Sabemos que e , então:
Portanto, .
Passo 6
3. Verificando a existência de inversos:
Para uma matriz A = 1 & 0 0 & a :
A^-1 = 1 & 0 0 & 1a
Seu inverso é:
( 1a )^3 = 1a^3 = 11 = 1
Precisamos que satisfaça .
Sabemos que , então:
Portanto, .
Resposta
Assim, satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de . Portanto, é de fato um subgrupo de .