Seja G=GL2(R) o grupo das matrizes de ordem 2 (i.e. 2 times 2 ) com coeficientes em R e determinante não nulo (com o produto usual de matrizes). Considere
(a) Mostre que H é um subgrupo de G.
H=[ll 1 & 0 0 & a ] rvert, a in R and a^3=1

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto é um subgrupo de . Aqui, é o grupo de todas as matrizes com entradas reais e determinante diferente de zero. A matéria envolvida é a teoria de grupos, especificamente subgrupos. Para resolver, vamos precisar verificar os critérios que definem um subgrupo: a presença do elemento identidade, a existência de inversos e a estabilidade por produto.

Passo 2

Primeiro, identificamos o conjunto H = 1 & 0 0 & a |, a in R e a^3 = 1 :
Aqui, consiste em matrizes diagonais onde o elemento na segunda diagonal satisfaz .

Passo 3

Para ser um subgrupo de , precisamos verificar três condições:
  1. Elemento identidade: A matriz identidade de deve estar em .
  2. Fechamento sob multiplicação: O produto de duas matrizes em também deve estar em .
  3. Existência de inversos: Para toda matriz em , sua inversa também deve estar em .

Passo 4

1. Verificando o elemento identidade:
A matriz identidade em I = 1 & 0 0 & 1 é:
Aqui, , e , então .

Passo 5

2. Verificando o fechamento sob multiplicação:
Sejam duas matrizes em A = 1 & 0 0 & a , B = 1 & 0 0 & b :
AB = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 & 1 cdot 0 + 0 cdot b 0 cdot 1 + a cdot 0 & 0 cdot 0 + a cdot b = 1 & 0 0 & ab
onde (ab)^3 = a^3b^3 = 1 cdot 1 = 1 e .
Multiplicando e :
Precisamos que satisfaça .
Sabemos que e , então:
Portanto, .

Passo 6

3. Verificando a existência de inversos:
Para uma matriz A = 1 & 0 0 & a :
A^-1 = 1 & 0 0 & 1a
Seu inverso é:
( 1a )^3 = 1a^3 = 11 = 1
Precisamos que satisfaça .
Sabemos que , então:
Portanto, .

Resposta

Assim, satisfaz todas as condições para ser um subgrupo de . Portanto, é de fato um subgrupo de .

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