Classifique os operadores abaixo: T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(raiz33 x+raiz33 y+raiz33 z,-raiz63 x+raiz66 y+raiz66 z,-raiz22 y+raiz22 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para classificar o operador linear T(x, y, z) = (raiz33 x + raiz33 y + raiz33 z, -raiz63 x + raiz66 y + raiz66 z, -raiz22 y + raiz22 z) definido por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matriz de transformação, determinante, e ortogonalidade. Vamos precisar montar a matriz da transformação, calcular seu determinante para ver se é invertível, e verificar se é uma matriz ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz padrão da transformação T(1,0,0) = (raiz33, -raiz63, 0) . Cada coluna da matriz corresponde às imagens dos vetores da base canônica T(0,1,0) = (raiz33, raiz66, -raiz22) , T(0,0,1) = (raiz33, raiz66, raiz22) e A = raiz33 & raiz33 & raiz33 -raiz63 & raiz66 & raiz66 0 & -raiz22 & raiz22 aplicados por .
Então, aplicando a cada um desses vetores:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) .
O determinante de uma matriz det(A) = raiz33 ( raiz66 cdot raiz22 - raiz66 cdot (-raiz22) ) - raiz33 ( -raiz63 cdot raiz22 - raiz66 cdot 0 ) + raiz33 ( -raiz63 cdot (-raiz22) - raiz66 cdot 0 ) é calculado por:
= raiz33 ( raiz6raiz212 + raiz6raiz212 ) - raiz33 ( -raiz6raiz26 ) + raiz33 ( raiz6raiz26 )
Aplicando isso à nossa matriz:
= raiz33 ( 2raiz1212 ) + raiz33 ( raiz126 ) + raiz33 ( raiz126 )
Calculando cada parte:
= raiz33 ( 2 cdot 2raiz312 ) + raiz33 ( 2raiz36 ) + raiz33 ( 2raiz36 )
Simplificando:
= raiz33 ( 4raiz312 ) + raiz33 ( 2raiz36 ) + raiz33 ( 2raiz36 )
Sabendo que = raiz33 ( raiz33 ) + raiz33 ( raiz33 ) + raiz33 ( raiz33 ) :
= 13 + 13 + 13 = 1
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a transformação (raiz33) (raiz33) + (-raiz63) (raiz66) + (0) (-raiz22) = 39 - 618 + 0 = 13 - 13 = 0 é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, (raiz33) (raiz33) + (-raiz63) (raiz66) + (0) (raiz22) = 39 - 618 + 0 = 13 - 13 = 0 . Além disso, uma propriedade importante das matrizes ortogonais é que suas colunas são vetores ortonormais.
Vamos verificar se as colunas de (raiz33) (raiz33) + (raiz66) (raiz66) + (-raiz22) (raiz22) = 39 + 636 - 24 = 13 + 16 - 12 = 0 são ortonormais:
Primeiro, calculamos o produto escalar entre cada par de colunas:
  1. Coluna 1 e Coluna 2:
raiz(raiz33)^2 + (-raiz63)^2 + 0^2 = raiz39 + 69 = raiz1 = 1
  1. Coluna 1 e Coluna 3:
raiz(raiz33)^2 + (raiz66)^2 + (-raiz22)^2 = raiz39 + 636 + 24 = raiz13 + 16 + 12 = raiz1 = 1
  1. Coluna 2 e Coluna 3:
raiz(raiz33)^2 + (raiz66)^2 + (raiz22)^2 = raiz39 + 636 + 24 = raiz13 + 16 + 12 = raiz1 = 1
Como o produto escalar entre todas as colunas é zero, as colunas são ortogonais. Além disso, o comprimento de cada coluna é:
Para Coluna 1:
Para Coluna 2:
Para Coluna 3:
Como todas as colunas têm comprimento 1 e são mutuamente ortogonais, a matriz é ortogonal.

Passo 5

Com base nas análises anteriores, podemos classificar o operador da seguinte maneira:
  • Invertível: Sim, porque o determinante da matriz é diferente de zero ( ).
  • Ortogonal: Sim, as colunas da matriz são ortonormais, ou seja, são mutuamente ortogonais e de comprimento 1, o que confirma que é uma matriz ortogonal.
  • Rotação ou Reflexão: Matrizes ortogonais com determinante representam rotações, enquanto que com determinante representam reflexões. Como , é uma rotação no espaço tridimensional.

Resposta

O operador é uma transformação linear invertível e ortogonal que representa uma rotação no espaço tridimensional.

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