Classifique os operadores abaixo: tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para classificar o operador linear definido por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matriz de transformação, determinante, e ortogonalidade. Vamos precisar montar a matriz da transformação, calcular seu determinante para ver se é invertível, e verificar se é uma matriz ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz padrão da transformação . Cada coluna da matriz corresponde às imagens dos vetores da base canônica , e aplicados por .
Então, aplicando a cada um desses vetores:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
O determinante de uma matriz é calculado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Sabendo que :
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a transformação é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, . Além disso, uma propriedade importante das matrizes ortogonais é que suas colunas são vetores ortonormais.
Vamos verificar se as colunas de são ortonormais:
Primeiro, calculamos o produto escalar entre cada par de colunas:
  1. Coluna 1 e Coluna 2:
  1. Coluna 1 e Coluna 3:
  1. Coluna 2 e Coluna 3:
Como o produto escalar entre todas as colunas é zero, as colunas são ortogonais. Além disso, o comprimento de cada coluna é:
Para Coluna 1:
Para Coluna 2:
Para Coluna 3:
Como todas as colunas têm comprimento 1 e são mutuamente ortogonais, a matriz é ortogonal.

Passo 5

Com base nas análises anteriores, podemos classificar o operador da seguinte maneira:
  • Invertível: Sim, porque o determinante da matriz é diferente de zero ( ).
  • Ortogonal: Sim, as colunas da matriz são ortonormais, ou seja, são mutuamente ortogonais e de comprimento 1, o que confirma que é uma matriz ortogonal.
  • Rotação ou Reflexão: Matrizes ortogonais com determinante representam rotações, enquanto que com determinante representam reflexões. Como , é uma rotação no espaço tridimensional.

Resposta

O operador é uma transformação linear invertível e ortogonal que representa uma rotação no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Seja , uma matriz quadrada de ordem . O traço de , denotado por , é definido como sendo o número real
ou seja, o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal de . Dadas e matrizes quadradas de ordem , valem as seguintes propriedades:
(a)
(b) , onde
©
(d)
Usando algumas destas propriedades verifique que não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .
Seja o grupo das matrizes de ordem 2 (i.e. ) com coeficientes em e determinante não nulo (com o produto usual de matrizes). Considere
(a) Mostre que é um subgrupo de .
Classifique os operadores abaixo: tal que
Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto .
(b) ( ) Se a primeira linha de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto .
© * ( ) Se a soma de matrizes estiver definida, então e devem ser matrizes quadradas.
(d) ( ) Se é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se é uma matriz quadrada e tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se é uma matriz singular (não invertível), então não é invertível.
(g) ( ) Se é invertível e , então necessariamente é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(i) * ( ) Se é uma matriz quadrada tal que , então