Beleza, vamos lá! Você me pediu para classificar o operador linear definido por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matriz de transformação, determinante, e ortogonalidade. Vamos precisar montar a matriz da transformação, calcular seu determinante para ver se é invertível, e verificar se é uma matriz ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz padrão da transformação . Cada coluna da matriz corresponde às imagens dos vetores da base canônica , e aplicados por .
Então, aplicando a cada um desses vetores:
Então, a matriz de é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
O determinante de uma matriz é calculado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Sabendo que :
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a transformação é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se sua transposta é igual à sua inversa, ou seja, . Além disso, uma propriedade importante das matrizes ortogonais é que suas colunas são vetores ortonormais.
Vamos verificar se as colunas de são ortonormais:
Primeiro, calculamos o produto escalar entre cada par de colunas:
Coluna 1 e Coluna 2:
Coluna 1 e Coluna 3:
Coluna 2 e Coluna 3:
Como o produto escalar entre todas as colunas é zero, as colunas são ortogonais. Além disso, o comprimento de cada coluna é:
Para Coluna 1:
Para Coluna 2:
Para Coluna 3:
Como todas as colunas têm comprimento 1 e são mutuamente ortogonais, a matriz é ortogonal.
Passo 5
Com base nas análises anteriores, podemos classificar o operador da seguinte maneira:
Invertível: Sim, porque o determinante da matriz é diferente de zero ().
Ortogonal: Sim, as colunas da matriz são ortonormais, ou seja, são mutuamente ortogonais e de comprimento 1, o que confirma que é uma matriz ortogonal.
Rotação ou Reflexão: Matrizes ortogonais com determinante representam rotações, enquanto que com determinante representam reflexões. Como , é uma rotação no espaço tridimensional.
Resposta
O operador é uma transformação linear invertível e ortogonal que representa uma rotação no espaço tridimensional.