Seja , uma matriz quadrada de ordem . O traço de , denotado por , é definido como sendo o número real
ou seja, o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal de . Dadas e matrizes quadradas de ordem , valem as seguintes propriedades:
(a)
(b) , onde
©
(d)
Usando algumas destas propriedades verifique que não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem . O objetivo é mostrar que não existem essas matrizes que satisfaçam a equação , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do traço de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o traço em ambos os lados da equação . Isso significa que vamos calcular e .

Passo 3

Usando a propriedade da linearidade do traço, podemos separar o traço da subtração das matrizes:

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade que diz que o traço de é igual ao traço de :
Portanto,

Passo 5

Por outro lado, sabemos que o traço da matriz identidade de ordem é igual a , já que todos os elementos da diagonal são 1 e os demais são 0:

Passo 6

Agora, igualamos os traços dos dois lados da equação original:
Substituindo o que encontramos:

Passo 7

Essa igualdade só pode ser verdadeira se , o que não faz sentido, pois representa a ordem da matriz e deve ser um número natural positivo.

Resposta

Portanto, não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .

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