Seja A=[cccca11 & a12 & cdots & a1 n a21 & a22 & cdots & a2 n vdots & vdots & ddots & vdots an 1 & an 2 & cdots & an n], uma matriz quadrada de ordem n. O traço de A, denotado por tr(A), é definido como sendo o número real
tr(A)=sumk=1^n ak k=a11+a22+ldots+an n
ou seja, o traço de A é a soma dos elementos da diagonal principal de A. Dadas A e B matrizes quadradas de ordem n, valem as seguintes propriedades:
(a) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
(b) tr(k A)=k tr(A), onde k in R
© tr(A^T)=tr(A)
(d) tr(A B)=tr(B A)
Usando algumas destas propriedades verifique que não existem matrizes quadradas A e B de ordem n tais que A B-B A=I.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem . O objetivo é mostrar que não existem essas matrizes que satisfaçam a equação , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do traço de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o traço em ambos os lados da equação . Isso significa que vamos calcular e .

Passo 3

Usando a propriedade da linearidade do traço, podemos separar o traço da subtração das matrizes:
tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA)

Passo 4

Agora, vamos usar a propriedade que diz que o traço de tr(AB) = tr(BA) é igual ao traço de tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(AB) = 0 :
Portanto,

Passo 5

Por outro lado, sabemos que o traço da matriz identidade tr(I) = n de ordem é igual a , já que todos os elementos da diagonal são 1 e os demais são 0:

Passo 6

Agora, igualamos os traços dos dois lados da equação original:
tr(AB - BA) = tr(I)
Substituindo o que encontramos:
0 = n

Passo 7

Essa igualdade só pode ser verdadeira se , o que não faz sentido, pois representa a ordem da matriz e deve ser um número natural positivo.

Resposta

Portanto, não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .

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