Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem . O objetivo é mostrar que não existem essas matrizes que satisfaçam a equação , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do traço de uma matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o traço em ambos os lados da equação . Isso significa que vamos calcular e .
Passo 3
Usando a propriedade da linearidade do traço, podemos separar o traço da subtração das matrizes:
Passo 4
Agora, vamos usar a propriedade que diz que o traço de é igual ao traço de :
Portanto,
Passo 5
Por outro lado, sabemos que o traço da matriz identidade de ordem é igual a , já que todos os elementos da diagonal são 1 e os demais são 0:
Passo 6
Agora, igualamos os traços dos dois lados da equação original:
Substituindo o que encontramos:
Passo 7
Essa igualdade só pode ser verdadeira se , o que não faz sentido, pois representa a ordem da matriz e deve ser um número natural positivo.
Resposta
Portanto, não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .