Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto .
(b) ( ) Se a primeira linha de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto .
© * ( ) Se a soma de matrizes estiver definida, então e devem ser matrizes quadradas.
(d) ( ) Se é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se é uma matriz quadrada e tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se é uma matriz singular (não invertível), então não é invertível.
(g) ( ) Se é invertível e , então necessariamente é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(i) * ( ) Se é uma matriz quadrada tal que , então

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a parte (i) do exercício. Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido:
Enunciado:
Se é uma matriz quadrada tal que , então
Matéria Envolvida:
Estamos lidando com matrizes e matrizes invertíveis. Precisamos saber sobre matriz identidade , matriz inversa e como manipular potências de matrizes.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a definição de matriz inversa.
  • Entender a série geométrica de matrizes.
  • Saber como multiplicar matrizes e verificar se uma matriz é inversa de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, se multiplicarmos a matriz por ela mesma quatro vezes, o resultado é a matriz nula (todos os elementos são zeros). Essa propriedade é chamada de nilpotência.

Passo 3

Queremos mostrar que:
Para que isso seja verdade, precisamos verificar se:
Se o produto das duas matrizes for a matriz identidade , então é realmente a inversa de .

Passo 4

Vamos multiplicar por :

Passo 5

Simplificando os termos:

Passo 6

Sabemos que , então:

Passo 7

Como o produto , concluímos que é de fato a inversa de .

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira. Se é uma matriz quadrada tal que , então .

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Classifique os operadores abaixo: tal que
Classifique os operadores abaixo: tal que
Dada a matriz , determine:
(a) utilizando as operações elementares sobre as linhas de ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e)
(f) .
Todo operador ortonormal é um operador normal? Por quê?