Beleza! Vamos resolver a parte (i) do exercício. Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido:
Enunciado:
Se é uma matriz quadrada tal que , então
Matéria Envolvida:
Estamos lidando com matrizes e matrizes invertíveis. Precisamos saber sobre matriz identidade, matriz inversa e como manipular potências de matrizes.
O que vamos precisar:
Conhecer a definição de matriz inversa.
Entender a série geométrica de matrizes.
Saber como multiplicar matrizes e verificar se uma matriz é inversa de outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, se multiplicarmos a matriz por ela mesma quatro vezes, o resultado é a matriz nula (todos os elementos são zeros). Essa propriedade é chamada de nilpotência.
Passo 3
Queremos mostrar que:
Para que isso seja verdade, precisamos verificar se:
Se o produto das duas matrizes for a matriz identidade , então é realmente a inversa de .
Passo 4
Vamos multiplicar por :
Passo 5
Simplificando os termos:
Passo 6
Sabemos que , então:
Passo 7
Como o produto , concluímos que é de fato a inversa de .
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira. Se é uma matriz quadrada tal que , então .