Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de
for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto
.
(b) ( ) Se a primeira linha de
for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto
.
© * ( ) Se a soma de matrizes
estiver definida, então
e
devem ser matrizes quadradas.
(d) ( ) Se
é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então
tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se
é uma matriz quadrada e
tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente
tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se
é uma matriz singular (não invertível), então
não é invertível.
(g) ( ) Se
é invertível e
, então necessariamente
é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(i) * ( ) Se
é uma matriz quadrada tal que
, então
(a) ( ) Se a primeira coluna de
(b) ( ) Se a primeira linha de
© * ( ) Se a soma de matrizes
(d) ( ) Se
(e) ( ) Se
(f) ( ) Se
(g) ( ) Se
(h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(i) * ( ) Se
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a parte (i) do exercício. Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido:
Enunciado:
Se é uma matriz quadrada tal que
, então
Se
Matéria Envolvida:
Estamos lidando com matrizes e matrizes invertíveis. Precisamos saber sobre matriz identidade , matriz inversa
e como manipular potências de matrizes.
Estamos lidando com matrizes e matrizes invertíveis. Precisamos saber sobre matriz identidade
O que vamos precisar:
- Conhecer a definição de matriz inversa.
- Entender a série geométrica de matrizes.
- Saber como multiplicar matrizes e verificar se uma matriz é inversa de outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, se multiplicarmos a matriz
por ela mesma quatro vezes, o resultado é a matriz nula (todos os elementos são zeros). Essa propriedade é chamada de nilpotência.
Passo 3
Queremos mostrar que:
Para que isso seja verdade, precisamos verificar se:
Se o produto das duas matrizes for a matriz identidade
, então
é realmente a inversa de
.
Passo 4
Vamos multiplicar
por
:
Passo 5
Simplificando os termos:
Passo 6
Sabemos que
, então:
Passo 7
Como o produto
, concluímos que
é de fato a inversa de
.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira. Se
é uma matriz quadrada tal que
, então
.