Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto A B.
(b) ( ) Se a primeira linha de A for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto A B.
© * ( ) Se a soma de matrizes A B+B A estiver definida, então A e B devem ser matrizes quadradas.
(d) ( ) Se A é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então A^2 tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se A é uma matriz quadrada e A^2 tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente A tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se A A^T é uma matriz singular (não invertível), então A não é invertível.
(g) ( ) Se A é invertível e A B=0, então necessariamente B é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(i) * ( ) Se A é uma matriz quadrada tal que A^4=0, então
(I-A)^-1=I+A+A^2+A^3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a parte (i) do exercício. Primeiro, vamos resumir o que está sendo pedido:
Enunciado:
Se (I - A)^-1 = I + A + A^2 + A^3 é uma matriz quadrada tal que , então
Matéria Envolvida:
Estamos lidando com matrizes e matrizes invertíveis. Precisamos saber sobre matriz identidade , matriz inversa e como manipular potências de matrizes.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a definição de matriz inversa.
  • Entender a série geométrica de matrizes.
  • Saber como multiplicar matrizes e verificar se uma matriz é inversa de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, se multiplicarmos a matriz por ela mesma quatro vezes, o resultado é a matriz nula (todos os elementos são zeros). Essa propriedade é chamada de nilpotência.

Passo 3

Queremos mostrar que:
(I - A)^-1 = I + A + A^2 + A^3
Para que isso seja verdade, precisamos verificar se:
(I - A) cdot (I + A + A^2 + A^3) = I
Se o produto das duas matrizes for a matriz identidade , então é realmente a inversa de .

Passo 4

Vamos multiplicar (I - A)(I + A + A^2 + A^3) &= I cdot I + I cdot A + I cdot A^2 + I cdot A^3 & - A cdot I - A cdot A - A cdot A^2 - A cdot A^3 &= I + A + A^2 + A^3 & - A - A^2 - A^3 - A^4 por :

Passo 5

Simplificando os termos:
I + cancelA + cancelA^2 + cancelA^3 - cancelA - cancelA^2 - cancelA^3 - A^4 = I - A^4

Passo 6

Sabemos que I - A^4 = I - 0 = I , então:

Passo 7

Como o produto , concluímos que é de fato a inversa de .

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira. Se é uma matriz quadrada tal que , então .

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