Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar o operador definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes associadas a transformações lineares, determinantes e a ideia de isomorfismo para classificar esse operador.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se é uma transformação linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
para todo escalar .
Vamos ver isso:
Para vetores e ,
Enquanto,
Vemos que . Similarmente, a propriedade com escalares também se mantém. Portanto, é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz associada a essa transformação linear. Para isso, aplicamos aos vetores canônicos de :
Assim, a matriz de em relação à base canônica é:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se é invertível. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Para a nossa matriz:
, , , , , , , ,
Calculando:
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz é invertível. Isso significa que é uma transformação linear invertível, ou seja, um isomorfismo.
Passo 5
Além disso, podemos analisar o posto da matriz . Como o determinante é não nulo, o posto é 3, que é o máximo para uma matriz 3x3. Isso confirma que é uma transformação linear bijetora, mapeando sobre si mesmo de forma um-para-um e sobre.
Resposta
O operador é uma transformação linear invertível (isomorfismo) de para , representada pela matriz
com determinante igual a 5, indicando que é invertível e bijetora.