Classifique os operadores abaixo: tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar o operador definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes associadas a transformações lineares, determinantes e a ideia de isomorfismo para classificar esse operador.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se é uma transformação linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. para todo escalar .
Vamos ver isso:
Para vetores e ,
Enquanto,
Vemos que . Similarmente, a propriedade com escalares também se mantém. Portanto, é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz associada a essa transformação linear. Para isso, aplicamos aos vetores canônicos de :
Assim, a matriz de em relação à base canônica é:

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se é invertível. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Para a nossa matriz:
, , , , , , , ,
Calculando:
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível. Isso significa que é uma transformação linear invertível, ou seja, um isomorfismo.

Passo 5

Além disso, podemos analisar o posto da matriz . Como o determinante é não nulo, o posto é 3, que é o máximo para uma matriz 3x3. Isso confirma que é uma transformação linear bijetora, mapeando sobre si mesmo de forma um-para-um e sobre.

Resposta

O operador é uma transformação linear invertível (isomorfismo) de para , representada pela matriz
com determinante igual a 5, indicando que é invertível e bijetora.

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Classifique os operadores abaixo: tal que
Seja , uma matriz quadrada de ordem . O traço de , denotado por , é definido como sendo o número real
ou seja, o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal de . Dadas e matrizes quadradas de ordem , valem as seguintes propriedades:
(a)
(b) , onde
©
(d)
Usando algumas destas propriedades verifique que não existem matrizes quadradas e de ordem tais que .
Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto .
(b) ( ) Se a primeira linha de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto .
© * ( ) Se a soma de matrizes estiver definida, então e devem ser matrizes quadradas.
(d) ( ) Se é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se é uma matriz quadrada e tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se é uma matriz singular (não invertível), então não é invertível.
(g) ( ) Se é invertível e , então necessariamente é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(i) * ( ) Se é uma matriz quadrada tal que , então
Dada a matriz , determine:
(a) utilizando as operações elementares sobre as linhas de ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e)
(f) .