Classifique os operadores abaixo: T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x,-y+2 z,-2 y-z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar o operador T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z)=(x,-y+2 z,-2 y-z). Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes associadas a transformações lineares, determinantes e a ideia de isomorfismo para classificar esse operador.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se T é uma transformação linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. T(cu) = cT(u) para todo escalar c.
Vamos ver isso:
Para vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2),
T(u + v) = T(x1+x2, y1+y2, z1+z2) = (x1+x2, -(y1+y2)+2(z1+z2), -2(y1+y2)-(z1+z2))
Enquanto,
T(u) + T(v) = (x1, -y1+2z1, -2y1-z1) + (x2, -y2+2z2, -2y2-z2) = (x1+x2, -y1 - y2 + 2z1 + 2z2, -2y1 - 2y2 - z1 - z2)
Vemos que T(u + v) = T(u) + T(v). Similarmente, a propriedade com escalares também se mantém. Portanto, T é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz associada a essa transformação linear. Para isso, aplicamos T aos vetores canônicos de R^3:
T(1,0,0) = (1, -0 + 2*0, -2*0 - 0) = (1, 0, 0)
T(0,1,0) = (0, -1 + 2*0, -2*1 - 0) = (0, -1, -2)
T(0,0,1) = (0, -0 + 2*1, -2*0 - 1) = (0, 2, -1)
Assim, a matriz A de T em relação à base canônica é:
A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 2 0 & -2 & -1

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se T é invertível. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Para a nossa matriz:
a=1, b=0, c=0, d=0, e=-1, f=2, g=0, h=-2, i=-1
Calculando:
det(A) = 1((-1)(-1) - 2*(-2)) - 0(0*(-1) - 2*0) + 0(0*(-2) - (-1)*0) = 1(1 + 4) = 5
Como o determinante é diferente de zero ( 5 neq 0), a matriz A é invertível. Isso significa que T é uma transformação linear invertível, ou seja, um isomorfismo.

Passo 5

Além disso, podemos analisar o posto da matriz A. Como o determinante é não nulo, o posto é 3, que é o máximo para uma matriz 3x3. Isso confirma que T é uma transformação linear bijetora, mapeando R^3 sobre si mesmo de forma um-para-um e sobre.

Resposta

O operador T é uma transformação linear invertível (isomorfismo) de R^3 para R^3, representada pela matriz
A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 2 0 & -2 & -1
com determinante igual a 5, indicando que T é invertível e bijetora.

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