Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar o operador definido por . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes associadas a transformações lineares, determinantes e a ideia de isomorfismo para classificar esse operador.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se é uma transformação linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
para todo escalar .
Vamos ver isso:
Para vetores e ,
Enquanto,
Vemos que . Similarmente, a propriedade com escalares também se mantém. Portanto, é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz associada a essa transformação linear. Para isso, aplicamos aos vetores canônicos de :
Assim, a matriz de em relação à base canônica é:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se T é invertível. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Como o determinante é diferente de zero (5 neq 0), a matriz A é invertível. Isso significa que T é uma transformação linear invertível, ou seja, um isomorfismo.
Passo 5
Além disso, podemos analisar o posto da matriz A. Como o determinante é não nulo, o posto é 3, que é o máximo para uma matriz 3x3. Isso confirma que T é uma transformação linear bijetora, mapeando R^3 sobre si mesmo de forma um-para-um e sobre.
Resposta
O operador T é uma transformação linear invertível (isomorfismo) de R^3 para R^3, representada pela matriz
A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 2 0 & -2 & -1
com determinante igual a 5, indicando que T é invertível e bijetora.