Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada de ordem 4 e nos pede para calcular várias propriedades relacionadas ao determinante e à matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como determinantes, matrizes transpostas, multiplicação de matrizes e matrizes inversas. Vamos usar operações elementares nas linhas para facilitar o cálculo do determinante.
Primeiro, lembrando que o determinante de uma matriz pode ser calculado transformando-a em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) usando operações elementares, e então multiplicando os elementos da diagonal principal.
Passo 2.1: Vamos eliminar o elemento abaixo do 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -17 & 37 (primeiro elemento da primeira linha). Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1:
det(A) = 1 times 7 times 0 times 37 = 0
Passo 2.2: Agora, vamos eliminar o elemento . Para isso, multiplicamos a primeira linha por -6 e adicionamos à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + (-6)*Linha 1:
Passo 2.3: Eliminando . Multiplicamos a primeira linha por -5 e adicionamos à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + (-5)*Linha 1:
Passo 2.4: Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, eliminamos . Para isso, multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + * Linha 2:
(Neste caso, o elemento resultante fica zero, simplificando a matriz.)
Passo 2.5: Finalmente, eliminamos . Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + * Linha 2:
Agora, a matriz está em forma triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 3
Parte (b): Calculando det(A^T) = det(A) .
Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original. Ou seja:
Outra propriedade dos determinantes diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes. Como , temos:
Passo 5
Parte (d): Calculando A^-1 não existe .
Para que a matriz tenha inversa, seu determinante deve ser diferente de zero (). No entanto, já vimos que , o que significa que é uma matriz singular e, portanto, não possui inversa.
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Passo 6
Parte (e): Calculando det(-A) = (-1)^n times det(A) .
Existe uma propriedade que afirma que:
det(-A) = (-1)^4 times 0 = 1 times 0 = 0
Onde é a ordem da matriz. No nosso caso, :
Passo 7
Parte (f): Calculando det(3A A^T) = det(3A) times det(A^T) .
Primeiro, vamos usar a propriedade que o determinante do produto de duas matrizes é o produto de seus determinantes:
det(3A) = 3^n times det(A) = 3^4 times 0 = 81 times 0 = 0