Dada a matriz A=[cccc1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4], determine:
(a) det(A) utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;
(b) det A^T;
© det(A^2);
(d) A^-1;
(e) det(-A)
(f) det(3 A A^T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada de ordem 4 e nos pede para calcular várias propriedades relacionadas ao determinante e à matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como determinantes, matrizes transpostas, multiplicação de matrizes e matrizes inversas. Vamos usar operações elementares nas linhas para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Parte (a): Calculando A = 1 & 5 & -1 & 3 -1 & 2 & -2 & 4 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 utilizando operações elementares sobre as linhas de 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 6 & 7 & 3 & -1 5 & 3 & 0 & 4 .
Primeiro, lembrando que o determinante de uma matriz pode ser calculado transformando-a em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) usando operações elementares, e então multiplicando os elementos da diagonal principal.
Vamos aplicar operações elementares nas linhas de 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 5 & 3 & 0 & 4 :
Matriz 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & -23 & 9 & -19 0 & -22 & 5 & -11 :
1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & 07 & 07 0 & -22 & 5 & -11
Passo 2.1: Vamos eliminar o elemento abaixo do 1 & 5 & -1 & 3 0 & 7 & -3 & 7 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -17 & 37 (primeiro elemento da primeira linha). Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1:
det(A) = 1 times 7 times 0 times 37 = 0
Passo 2.2: Agora, vamos eliminar o elemento . Para isso, multiplicamos a primeira linha por -6 e adicionamos à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + (-6)*Linha 1:
Passo 2.3: Eliminando . Multiplicamos a primeira linha por -5 e adicionamos à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + (-5)*Linha 1:
Passo 2.4: Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, eliminamos . Para isso, multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + * Linha 2:
(Neste caso, o elemento resultante fica zero, simplificando a matriz.)
Passo 2.5: Finalmente, eliminamos . Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + * Linha 2:
Agora, a matriz está em forma triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 3

Parte (b): Calculando det(A^T) = det(A) .
Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original. Ou seja:
det(A^T) = 0
Como já calculamos , então:

Passo 4

Parte ©: Calculando det(A^2) = det(A) times det(A) = (0) times (0) = 0 .
Outra propriedade dos determinantes diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes. Como , temos:

Passo 5

Parte (d): Calculando A^-1 não existe .
Para que a matriz tenha inversa, seu determinante deve ser diferente de zero ( ). No entanto, já vimos que , o que significa que é uma matriz singular e, portanto, não possui inversa.
ã

Passo 6

Parte (e): Calculando det(-A) = (-1)^n times det(A) .
Existe uma propriedade que afirma que:
det(-A) = (-1)^4 times 0 = 1 times 0 = 0
Onde é a ordem da matriz. No nosso caso, :

Passo 7

Parte (f): Calculando det(3A A^T) = det(3A) times det(A^T) .
Primeiro, vamos usar a propriedade que o determinante do produto de duas matrizes é o produto de seus determinantes:
det(3A) = 3^n times det(A) = 3^4 times 0 = 81 times 0 = 0
Sabemos que det(3A A^T) = 0 times 0 = 0 e:
Portanto:

Resposta

(a)
(b)
©
(d) não existe.
(e)
(f)

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