Dada a matriz , determine:
(a) utilizando as operações elementares sobre as linhas de ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e)
(f) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz quadrada de ordem 4 e nos pede para calcular várias propriedades relacionadas ao determinante e à matriz inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como determinantes, matrizes transpostas, multiplicação de matrizes e matrizes inversas. Vamos usar operações elementares nas linhas para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Parte (a): Calculando utilizando operações elementares sobre as linhas de .
Primeiro, lembrando que o determinante de uma matriz pode ser calculado transformando-a em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero) usando operações elementares, e então multiplicando os elementos da diagonal principal.
Vamos aplicar operações elementares nas linhas de :
Matriz :
Passo 2.1: Vamos eliminar o elemento abaixo do (primeiro elemento da primeira linha). Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1:
Passo 2.2: Agora, vamos eliminar o elemento . Para isso, multiplicamos a primeira linha por -6 e adicionamos à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + (-6)*Linha 1:
Passo 2.3: Eliminando . Multiplicamos a primeira linha por -5 e adicionamos à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + (-5)*Linha 1:
Passo 2.4: Agora, vamos focar na segunda coluna. Primeiro, eliminamos . Para isso, multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + * Linha 2:
(Neste caso, o elemento resultante fica zero, simplificando a matriz.)
Passo 2.5: Finalmente, eliminamos . Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + * Linha 2:
Agora, a matriz está em forma triangular superior. O determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 3

Parte (b): Calculando .
Uma propriedade importante dos determinantes é que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original. Ou seja:
Como já calculamos , então:

Passo 4

Parte ©: Calculando .
Outra propriedade dos determinantes diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes. Como , temos:

Passo 5

Parte (d): Calculando .
Para que a matriz tenha inversa, seu determinante deve ser diferente de zero ( ). No entanto, já vimos que , o que significa que é uma matriz singular e, portanto, não possui inversa.
ã

Passo 6

Parte (e): Calculando .
Existe uma propriedade que afirma que:
Onde é a ordem da matriz. No nosso caso, :

Passo 7

Parte (f): Calculando .
Primeiro, vamos usar a propriedade que o determinante do produto de duas matrizes é o produto de seus determinantes:
Sabemos que e:
Portanto:

Resposta

(a)
(b)
©
(d) não existe.
(e)
(f)

Exercícios relacionados

Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se a primeira coluna de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto .
(b) ( ) Se a primeira linha de for constituída somente de zeros, o mesmo ocorre com a primeira linha de qualquer produto .
© * ( ) Se a soma de matrizes estiver definida, então e devem ser matrizes quadradas.
(d) ( ) Se é uma matriz quadrada com duas linhas idênticas, então tem duas linhas idênticas.
(e) ( ) Se é uma matriz quadrada e tem uma coluna constituída somente de zeros, então necessariamente tem uma coluna constituída somente de zeros.
(f) ( ) Se é uma matriz singular (não invertível), então não é invertível.
(g) ( ) Se é invertível e , então necessariamente é a matriz nula.
(h) ( ) A soma de duas matrizes invertíveis é sempre uma matriz invertível.
(i) * ( ) Se é uma matriz quadrada tal que , então
Classifique os operadores abaixo: tal que
Todo operador ortonormal é um operador normal? Por quê?
Verifique que se é uma matriz , então os traços de e estão definidos. Em seguida prove que .