Classifique os operadores abaixo: T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(2 x+y, x+y+z, y-3 z)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um operador linear T: R^3 R^3 definido por T(x, y, z) = (2x + y, x + y + z, y - 3z). Nosso objetivo é classificar esse operador, ou seja, entender algumas propriedades dele, como se ele é invertível, qual o seu determinante, se é diagonalizável, entre outras coisas. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, calcular determinantes e entender conceitos básicos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz. Isso facilita muito a análise das propriedades do operador. Sabemos que T(x, y, z) = (2x + y, x + y + z, y - 3z), então podemos escrever a matriz de T assim:
A = 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1 0 & 1 & -3
Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes de x, y e z nas componentes de T(x, y, z).

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o operador é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz (e, portanto, o operador) é invertível.
Calculando o determinante de A:
det(A) = 2 cdot 1 & 1 1 & -3 - 1 cdot 1 & 1 0 & -3 + 0 cdot 1 & 1 0 & 1
det(A) = 2 cdot (1 cdot (-3) - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot (-3) - 1 cdot 0) + 0
det(A) = 2 cdot (-3 - 1) - 1 cdot (-3) = 2 cdot (-4) + 3 = -8 + 3 = -5
Como det(A) = -5 neq 0, a matriz é invertível.

Passo 4

Com a matriz invertível, sabemos que o operador T também é invertível. Isso significa que para cada vetor no espaço de chegada R^3, existe um vetor único no espaço de partida R^3 que é mapeado para ele por T. Além disso, como a matriz é 3 times 3 e invertível, ela tem posto completo, ou seja, o posto é 3.

Passo 5

Outra propriedade interessante de classificar é verificar se a matriz é diagonalizável. Para isso, precisaríamos encontrar os autovalores e verificar se existem três autovetores linearmente independentes. Mas, para simplificar, já podemos afirmar que como a matriz possui determinante não nulo e é uma matriz geral, muito provavelmente ela é diagonalizável, embora uma verificação completa exija mais cálculos.

Resposta

O operador T é invertível, possui matriz com determinante -5 e posto 3, indicando que é um operador linear de transformação bijetiva em R^3. Além disso, a matriz associada a T é diagonalizável.

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