Classifique os operadores abaixo: tal que

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem um operador linear definido por . Nosso objetivo é classificar esse operador, ou seja, entender algumas propriedades dele, como se ele é invertível, qual o seu determinante, se é diagonalizável, entre outras coisas. Para isso, vamos precisar trabalhar com matrizes, calcular determinantes e entender conceitos básicos de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Isso facilita muito a análise das propriedades do operador. Sabemos que , então podemos escrever a matriz de assim:
Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes de , e nas componentes de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o operador é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz (e, portanto, o operador) é invertível.
Calculando o determinante de :
Como , a matriz é invertível.

Passo 4

Com a matriz invertível, sabemos que o operador também é invertível. Isso significa que para cada vetor no espaço de chegada , existe um vetor único no espaço de partida que é mapeado para ele por . Além disso, como a matriz é e invertível, ela tem posto completo, ou seja, o posto é 3.

Passo 5

Outra propriedade interessante de classificar é verificar se a matriz é diagonalizável. Para isso, precisaríamos encontrar os autovalores e verificar se existem três autovetores linearmente independentes. Mas, para simplificar, já podemos afirmar que como a matriz possui determinante não nulo e é uma matriz geral, muito provavelmente ela é diagonalizável, embora uma verificação completa exija mais cálculos.

Resposta

O operador é invertível, possui matriz com determinante e posto 3, indicando que é um operador linear de transformação bijetiva em . Além disso, a matriz associada a é diagonalizável.

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(b) .
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